Sejam \vec{u}=(1,2,-1) e \vec{v}=(2,-1,1). Calcule:
(a) O produto escalar \vec{u} \cdot \vec{v}.
(b) O cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
(c) A projeção ortogonal do vetor \vec{u} sobre o vetor \vec{v}.

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores em \mathbb{R}^3:
\vec{u}=(1,2,-1),\qquad \vec{v}=(2,-1,1).
Pede-se:
(a) o produto escalar \vec{u}\cdot\vec{v};
(b) o cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v};
(c) a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
Vou usar definições e fórmulas básicas que você verá abaixo quando necessárias.

Passo 2

Definição e cálculo do produto escalar (alem da interpretação):
O produto escalar entre dois vetores \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) e \vec{b}=(b_1,b_2,b_3) é dado por
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
Ele também tem interpretação geométrica via o ângulo \theta entre os vetores:
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\,\cos\theta,
onde \|\cdot\| indica a norma (comprimento) do vetor.
Aplicando a fórmula componente a componente para \vec{u} e \vec{v}:
\vec{u}\cdot\vec{v}=1\cdot2 + 2\cdot(-1) + (-1)\cdot1.
Calculemos termo a termo:
1\cdot2=2,\qquad 2\cdot(-1)=-2,\qquad (-1)\cdot1=-1.
Somando:
\vec{u}\cdot\vec{v}=2-2-1=-1.

Passo 3

Cálculo das normas \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\| (necessárias para o cosseno):
A norma de um vetor \vec{w}=(w_1,w_2,w_3) é
\|\vec{w}\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.
Para \vec{u}=(1,2,-1):
\|\vec{u}\|=\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Para \vec{v}=(2,-1,1):
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Observação útil: ambos têm a mesma norma \sqrt{6}.

Passo 4

Cálculo do cosseno do ângulo entre \vec{u} e \vec{v}:
Usamos a relação geométrica do produto escalar:
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Substituindo os valores que já achamos:
\cos\theta=\frac{-1}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{-1}{6}.
Comentário pedagógico: \cos\theta=-\tfrac{1}{6} indica que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é maior que 90^\circ (vetores com cosseno negativo são obtusos).

Passo 5

Fórmula e interpretação da projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}:
A projeção de \vec{u} sobre \vec{v} (também chamada componente de \vec{u} na direção de \vec{v}) é o vetor paralelo a \vec{v} dado por
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\,\vec{v}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{v}=\|\vec{v}\|^2. Essa fórmula vem da decomposição \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}+ \vec{w} com \vec{w} ortogonal a \vec{v}.

Passo 6

Cálculo prático da projeção:
Já temos \vec{u}\cdot\vec{v}=-1. Calculemos \vec{v}\cdot\vec{v}:
\vec{v}\cdot\vec{v}=2^2+(-1)^2+1^2=4+1+1=6.
O coeficiente escalar é
\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\frac{-1}{6} .
Multiplicando esse escalar pelo vetor \vec{v}=(2,-1,1):
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\frac{-1}{6}\,(2,-1,1)=\left(\frac{-2}{6},\frac{1}{6},\frac{-1}{6}\right).
Simplificando frações:
\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\left(-\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{6},-\tfrac{1}{6}\right).

Passo 7

Verificação (opcional, para fixar a ideia):
A diferença \vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u} deve ser ortogonal a \vec{v}. Calcule o produto escalar (rápido cheque mental):
\vec{v}\cdot\bigl(\vec{u}-\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}\bigr)=\vec{v}\cdot\vec{u}-\vec{v}\cdot\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}.
Mas \vec{v}\cdot\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=(\vec{u}\cdot\vec{v})\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\vec{u}\cdot\vec{v}, então a diferença é zero, confirmando a ortogonalidade. Isso mostra que a fórmula da projeção está coerente.

Resposta

(a) \vec{u}\cdot\vec{v}=-1
(b) \cos\theta=-\dfrac{1}{6}
(c) \operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}=\left(-\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{6},-\dfrac{1}{6}\right)

Exercícios relacionados