Sejam
e
. Calcule:
(a) O produto escalar
.
(b) O cosseno do ângulo entre
e
.
(c) A projeção ortogonal do vetor
sobre o vetor
.
(a) O produto escalar
(b) O cosseno do ângulo entre
(c) A projeção ortogonal do vetor
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores em
:
Pede-se:
(a) o produto escalar ;
(b) o cosseno do ângulo entre e
;
(c) a projeção ortogonal de sobre
.
(a) o produto escalar
(b) o cosseno do ângulo entre
(c) a projeção ortogonal de
Vou usar definições e fórmulas básicas que você verá abaixo quando necessárias.
Passo 2
Definição e cálculo do produto escalar (alem da interpretação):
O produto escalar entre dois vetores e
é dado por
O produto escalar entre dois vetores
Ele também tem interpretação geométrica via o ângulo
entre os vetores:
onde
indica a norma (comprimento) do vetor.
Aplicando a fórmula componente a componente para
e
:
Calculemos termo a termo:
Somando:
Passo 3
Cálculo das normas
e
(necessárias para o cosseno):
A norma de um vetor é
A norma de um vetor
Para
:
Para
:
Observação útil: ambos têm a mesma norma
.
Passo 4
Cálculo do cosseno do ângulo entre
e
:
Usamos a relação geométrica do produto escalar:
Usamos a relação geométrica do produto escalar:
Substituindo os valores que já achamos:
Comentário pedagógico:
indica que o ângulo entre
e
é maior que
(vetores com cosseno negativo são obtusos).
Passo 5
Fórmula e interpretação da projeção ortogonal de
sobre
:
A projeção de sobre
(também chamada componente de
na direção de
) é o vetor paralelo a
dado por
A projeção de
Aqui
. Essa fórmula vem da decomposição
com
ortogonal a
.
Passo 6
Cálculo prático da projeção:
Já temos . Calculemos
:
Já temos
O coeficiente escalar é
Multiplicando esse escalar pelo vetor
:
Simplificando frações:
Passo 7
Verificação (opcional, para fixar a ideia):
A diferença deve ser ortogonal a
. Calcule o produto escalar (rápido cheque mental):
A diferença
Mas
, então a diferença é zero, confirmando a ortogonalidade. Isso mostra que a fórmula da projeção está coerente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)