Dados os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar e o produto vetorial nos casos abaixo:
\vec{u}=(-1,2,3) e \vec{v}=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(-1,2,3) e \vec{v}=(0,1,1) em \mathbb{R}^3 e pede o produto escalar e o produto vetorial. Vamos usar as definições:
– Produto escalar: \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
– Produto vetorial:
\vec{u}\times\vec{v}=(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1).

Passo 2

Aplicando a definição do produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} =(-1)\cdot0 + 2\cdot1 + 3\cdot1 =0 + 2 + 3 =5.

Passo 3

Usando a fórmula do produto vetorial em coordenadas:
\vec{u}\times\vec{v} =(\,2\cdot1 - 3\cdot1,\;3\cdot0 - (-1)\cdot1,\;(-1)\cdot1 - 2\cdot0) =(-1,\;1,\;-1).

Resposta

\vec{u}\cdot\vec{v}=5 \vec{u}\times\vec{v}=(-1,1,-1)

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