Dados os vetores \vec{u} e \vec{v}, calcule o produto escalar e o produto vetorial nos casos abaixo:
\vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{v}=(-2,0,1).

Passo 1

O enunciado fornece os vetores \vec u = (-1,-1,0) e \vec v = (-2,0,1) e pede para calcular o produto escalar e o produto vetorial. O conteúdo aqui é álgebra vetorial em \mathbb R^3, onde o produto escalar mede a “projeção” entre vetores e o produto vetorial gera um vetor perpendicular aos dois dados.

Passo 2

Para o produto escalar usamos a definição
\vec u \cdot \vec v = u_x\,v_x + u_y\,v_y + u_z\,v_z.
Substituindo u_x=-1, u_y=-1, u_z=0 e v_x=-2, v_y=0, v_z=1, temos
\vec u \cdot \vec v = (-1)\cdot(-2) + (-1)\cdot 0 + 0\cdot 1 = 2 + 0 + 0 = 2.

Passo 3

Para o produto vetorial usamos a fórmula por componentes
\vec u \times \vec v = \bigl(u_y v_z - u_z v_y,\;u_z v_x - u_x v_z,\;u_x v_y - u_y v_x\bigr).
Substituindo as componentes:
u_y v_z - u_z v_y = (-1)\cdot 1 - 0\cdot 0 = -1,
u_z v_x - u_x v_z = 0\cdot(-2) - (-1)\cdot 1 = 1,
u_x v_y - u_y v_x = (-1)\cdot 0 - (-1)\cdot(-2) = -2.
Portanto,
\vec u \times \vec v = (-1,\,1,\,-2).

Resposta

Produto escalar: \vec u \cdot \vec v = 2
Produto vetorial: \vec u \times \vec v = (-1,1,-2)

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