Dados os vetores \vec{u}=(1,0,-2) e \vec{v}=(-2,1,0), determine o produto vetorial de \vec{v} por \vec{u}(\vec{v} \wedge \vec{u})

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1,0,-2) e \vec{v}=(-2,1,0) e pede para determinar o produto vetorial de \vec{v} por \vec{u}, ou seja, \vec{v}\wedge\vec{u}.
Informações relevantes: as coordenadas de \vec{u} e de \vec{v} estão explícitas em coordenadas cartesianas (x,y,z). A tarefa é calcular um vetor resultado (o produto vetorial) com três componentes.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o produto vetorial e como calculá-lo. O produto vetorial de dois vetores \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) é um vetor \vec{a}\wedge\vec{b} cujas componentes são dadas por
\vec{a}\wedge\vec{b} = \bigl(a_y b_z - a_z b_y,\; a_z b_x - a_x b_z,\; a_x b_y - a_y b_x\bigr).
Explicando cada termo: a primeira componente (em x) é a diferença entre o produto das componentes y de \vec{a} com z de \vec{b} e o produto de z de \vec{a} com y de \vec{b}. As outras componentes seguem padrões análogos. Geometricamente, o produto vetorial produz um vetor perpendicular a ambos os vetores originais; magnitude igual à área do paralelogramo formado por eles e direção dada pela regra da mão direita.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com \vec{a}=\vec{v}=(-2,1,0) e \vec{b}=\vec{u}=(1,0,-2). Primeiro identifique as componentes:
v_x=-2,\quad v_y=1,\quad v_z=0,
u_x=1,\quad u_y=0,\quad u_z=-2.

Passo 4

Calculamos a primeira componente (componente em x):
(\vec{v}\wedge\vec{u})_x = v_y\,u_z - v_z\,u_y.
Substituindo os valores:
(\vec{v}\wedge\vec{u})_x = 1\cdot(-2) - 0\cdot 0 = -2 - 0 = -2.

Passo 5

Calculamos a segunda componente (componente em y):
(\vec{v}\wedge\vec{u})_y = v_z\,u_x - v_x\,u_z.
Substituindo os valores:
(\vec{v}\wedge\vec{u})_y = 0\cdot 1 - (-2)\cdot(-2) = 0 - 4 = -4.
Observação: tome cuidado com sinais — aqui v_x=-2 e u_z=-2, então v_x\,u_z = (-2)\cdot(-2)=4.

Passo 6

Calculamos a terceira componente (componente em z):
(\vec{v}\wedge\vec{u})_z = v_x\,u_y - v_y\,u_x.
Substituindo:
(\vec{v}\wedge\vec{u})_z = (-2)\cdot 0 - 1\cdot 1 = 0 - 1 = -1.

Passo 7

Juntando as três componentes, obtemos
\vec{v}\wedge\vec{u} = (-2,-4,-1).
Como verificação rápida: o produto vetorial é anticomutativo, isto é \vec{v}\wedge\vec{u}= -(\vec{u}\wedge\vec{v}). Se calcularmos \vec{u}\wedge\vec{v} obteríamos (2,4,1), de modo que o resultado acima confere.

Resposta

(-2,-4,-1)

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