A pergunta explícita é: determine o produto misto \vec{u}, \vec{w}, \vec{v}.
Aqui estamos obrigados a entregar um número (o produto misto é um escalar).
Passo 2
O que é o produto misto? Vou explicar direitinho. O produto misto de três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é definido como
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}),
ou seja, fazemos o produto vetorial entre \vec{b} e \vec{c} e depois o produto escalar desse resultado com \vec{a}. Ele também pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
Trocar a ordem de dois vetores inverte o sinal (permuta ímpar).
Geometricamente, o valor absoluto |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})| é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{a},\vec{b},\vec{c}.]
Passo 3
Métodos práticos para calcular na prova (escolha rápido):
Usar o determinante da matriz formada pelas coordenadas (linha por vetor ou coluna por vetor). É direto e rápido quando os números são pequenos.
Calcular \vec{b}\times\vec{c} passo a passo e depois fazer o produto escalar com \vec{a}. Esse método é ótimo se você quer conferir o determinante ou quando achar o cálculo do cross mais claro.
Eu vou mostrar os dois (determinante e cross+dot) — assim você aprende e tem duas formas para a prova.
Passo 4
Calculemos primeiro pelo determinante. Colocamos as coordenadas nas linhas na ordem pedida \vec{u},\vec{w},\vec{v}:
Portanto, pelo método do determinante, o produto misto vale -26.
Passo 7
Agora faço a verificação pelo método (\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v} para fixar o procedimento passo a passo (útil na prova se você preferir calcular cross primeiro).
Calcule \vec{u}\times\vec{w}. Usando a fórmula componente a componente:
Resumo prático para a prova (dica de amigo): se você tiver que calcular rápido, escolha entre (a) montando o determinante 3x3 com as coordenadas na ordem pedida e fazendo a expansão, ou (b) calculando um cross product simples e depois um dot. Use o que te der menos chance de erro aritmético. E lembre: trocar a ordem altera o sinal se não for uma permutação cíclica.