Dados os vetores \vec{u}=(1,1,3), \vec{v}=(2,-1,5) e \vec{w}=(4,-3,1), determine o seguinte produto misto
\vec{u}, \vec{w}, \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede um produto misto. Dados:
\vec{u}=(1,1,3),\qquad \vec{v}=(2,-1,5),\qquad \vec{w}=(4,-3,1).
A pergunta explícita é: determine o produto misto \vec{u}, \vec{w}, \vec{v}.
Aqui estamos obrigados a entregar um número (o produto misto é um escalar).

Passo 2

O que é o produto misto? Vou explicar direitinho. O produto misto de três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é definido como
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}),
ou seja, fazemos o produto vetorial entre \vec{b} e \vec{c} e depois o produto escalar desse resultado com \vec{a}. Ele também pode ser calculado como o determinante da matriz 3\times3 cujas linhas (ou colunas) são as coordenadas dos vetores:
\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3\\[4pt] b_1 & b_2 & b_3\\[4pt] c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.
Algumas propriedades úteis (que ajudam na prova):
  • O produto misto é invariante por permutações cíclicas:
\vec{a},\vec{b},\vec{c}=\vec{b},\vec{c},\vec{a}=\vec{c},\vec{a},\vec{b}.
  • Trocar a ordem de dois vetores inverte o sinal (permuta ímpar).
  • Geometricamente, o valor absoluto |\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})| é o volume do paralelepípedo construído sobre \vec{a},\vec{b},\vec{c}.]

Passo 3

Métodos práticos para calcular na prova (escolha rápido):
  1. Usar o determinante da matriz formada pelas coordenadas (linha por vetor ou coluna por vetor). É direto e rápido quando os números são pequenos.
  2. Calcular \vec{b}\times\vec{c} passo a passo e depois fazer o produto escalar com \vec{a}. Esse método é ótimo se você quer conferir o determinante ou quando achar o cálculo do cross mais claro.
Eu vou mostrar os dois (determinante e cross+dot) — assim você aprende e tem duas formas para a prova.

Passo 4

Calculemos primeiro pelo determinante. Colocamos as coordenadas nas linhas na ordem pedida \vec{u},\vec{w},\vec{v}:
\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3\\[4pt] 4 & -3 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 5 \end{vmatrix}.
Vou expandir pela primeira linha (regra de Sarrus ou expansão por cofatores). Expansão por cofatores:
\begin{aligned} \det &= 1\cdot\begin{vmatrix}-3 & 1\\[4pt]-1 & 5\end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix}4 & 1\\[4pt]2 & 5\end{vmatrix} + 3\cdot\begin{vmatrix}4 & -3\\[4pt]2 & -1\end{vmatrix}. \end{aligned}]

Passo 5

Agora calculamos cada determinante 2\times2 (lembre: \begin{vmatrix}a & b\\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc):
Primeiro:
\begin{vmatrix}-3 & 1\\[4pt]-1 & 5\end{vmatrix}=(-3)\cdot 5 - 1\cdot(-1) = -15 + 1 = -14.
Segundo:
\begin{vmatrix}4 & 1\\[4pt]2 & 5\end{vmatrix}=4\cdot 5 - 1\cdot 2 = 20 - 2 = 18.
Terceiro:
\begin{vmatrix}4 & -3\\[4pt]2 & -1\end{vmatrix}=4\cdot(-1) - (-3)\cdot 2 = -4 + 6 = 2.]

Passo 6

Substituindo esses resultados na expansão:
\det = 1\cdot(-14) - 1\cdot(18) + 3\cdot(2) = -14 - 18 + 6 = -26.
Portanto, pelo método do determinante, o produto misto vale -26.

Passo 7

Agora faço a verificação pelo método (\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v} para fixar o procedimento passo a passo (útil na prova se você preferir calcular cross primeiro).
Calcule \vec{u}\times\vec{w}. Usando a fórmula componente a componente:
\vec{u}\times\vec{w}= \bigl(u_2w_3-u_3w_2,\;u_3w_1-u_1w_3,\;u_1w_2-u_2w_1\bigr).
Com \vec{u}=(1,1,3) e \vec{w}=(4,-3,1) temos:
\begin{aligned} &u_2w_3-u_3w_2 = 1\cdot 1 - 3\cdot(-3) = 1 + 9 = 10,\\[4pt] &u_3w_1-u_1w_3 = 3\cdot 4 - 1\cdot 1 = 12 - 1 = 11,\\[4pt] &u_1w_2-u_2w_1 = 1\cdot(-3) - 1\cdot 4 = -3 - 4 = -7. \end{aligned}
Logo
\vec{u}\times\vec{w}=(10,11,-7).]

Passo 8

Agora o produto escalar com \vec{v}=(2,-1,5):
(\vec{u}\times\vec{w})\cdot\vec{v}=10\cdot 2 + 11\cdot(-1) + (-7)\cdot 5.
Calcule:
10\cdot 2 = 20,\qquad 11\cdot(-1)=-11,\qquad (-7)\cdot 5 = -35.
Somando:
20 - 11 - 35 = -26.
Confirmado: mesmo resultado -26.

Passo 9

Resumo prático para a prova (dica de amigo): se você tiver que calcular rápido, escolha entre (a) montando o determinante 3x3 com as coordenadas na ordem pedida e fazendo a expansão, ou (b) calculando um cross product simples e depois um dot. Use o que te der menos chance de erro aritmético. E lembre: trocar a ordem altera o sinal se não for uma permutação cíclica.

Resposta

-26

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