Dados os vetores x, y, z in R^2, determine escalares a, b in R tais que a x+b y=z.
(b) x=(1,-2), y=(3,1), z=(-2,1)

Passo 1

Vamos resolver um problema de álgebra linear onde temos três vetores em . Precisamos encontrar os escalares e que satisfazem a equação . Para isso, vamos usar sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
a cdot 1 + b cdot 3 = -2 (primeira componente)
a cdot (-2) + b cdot 1 = 1 (segunda componente)
A equação pode ser escrita componente a componente:

Passo 3

Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + 3b = -2 -2a + b = 1

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. Primeiramente, da segunda equação:
b = 2a + 1
Podemos isolar :

Passo 5

Agora, substituímos a + 3(2a + 1) = -2 na primeira equação:
a + 6a + 3 = -2
Distribuindo o 3:
7a + 3 = -2
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Isolando 7a = -2 - 3 :
7a = -5
a = -57

Passo 7

Agora que temos b = 2(-57) + 1 , substituímos de volta na expressão de b = -107 + 77 :
b = -37

Resposta

Os escalares são e .

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