Dados
e
subespaços vetoriais de um espaço vetorial
tais que
e
, dizemos que
é a soma direta de
com
e denotamos por
. Mostre que
se, e somente se, todo vetor
pode ser escrito de modo único sob a forma
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado trata de subespaços
e
de um espaço vetorial
e da definição de soma direta
que significa
Temos de mostrar que isto é equivalente à propriedade “todo vetor
pode ser escrito de modo único como
, com
e
”.
Passo 2
Suponha que
.
- Como
, para cada existem pelo menos e tais que
- Para ver a unicidade, suponha duas decomposições
com
e
. Então
O lado esquerdo pertence a
e o direito a
, logo pertence à interseção
, que é
. Assim
e então
. Portanto a decomposição é única.
Passo 3
Suponha agora que todo
admite decomposição única
.
- A existência dessa decomposição para todo
implica diretamente . - Para ver
, tome . Então pode ser escrito como
com
,
. Pela unicidade, as duas decomposições só podem coincidir se
. Assim a interseção é trivial.
Resposta
Ficou demonstrado que