Dados W_{1} e W_{2} subespaços vetoriais de um espaço vetorial V tais que W_{1} \cap W_{2}=0 e V=W_{1}+W_{2}, dizemos que V é a soma direta de W_{1} com W_{2} e denotamos por V=W_{1} \oplus W_{2}. Mostre que V=W_{1} \oplus W_{2} se, e somente se, todo vetor v \in V pode ser escrito de modo único sob a forma v=w_{1}+w_{2}, onde w_{1} \in W_{1} e w_{2} \in W_{2}.

Passo 1

O enunciado trata de subespaços W_1 e W_2 de um espaço vetorial V e da definição de soma direta
V = W_1 \oplus W_2
que significa
V = W_1 + W_2 \quad\text{e}\quad W_1 \cap W_2 = \{0\}.
Temos de mostrar que isto é equivalente à propriedade “todo vetor v\in V pode ser escrito de modo único como v = w_1 + w_2, com w_1\in W_1 e w_2\in W_2”.

Passo 2

Suponha que V = W_1 \oplus W_2.
  1. Como V = W_1 + W_2, para cada v\in V existem pelo menos w_1\in W_1 e w_2\in W_2 tais que
v = w_1 + w_2.
  1. Para ver a unicidade, suponha duas decomposições
v = w_1 + w_2 = w_1' + w_2',
com w_1,w_1'\in W_1 e w_2,w_2'\in W_2. Então
w_1 - w_1' = w_2' - w_2.
O lado esquerdo pertence a W_1 e o direito a W_2, logo pertence à interseção W_1\cap W_2, que é \{0\}. Assim
w_1 - w_1' = 0 \quad\Rightarrow\quad w_1 = w_1',
e então w_2 = w_2'. Portanto a decomposição é única.

Passo 3

Suponha agora que todo v\in V admite decomposição única v = w_1 + w_2.
  1. A existência dessa decomposição para todo v implica diretamente V = W_1 + W_2.
  2. Para ver W_1\cap W_2=\{0\}, tome x\in W_1\cap W_2. Então x pode ser escrito como
x = x + 0 \quad\text{e}\quad x = 0 + x,
com x\in W_1\cap W_2, 0\in W_1\cap W_2. Pela unicidade, as duas decomposições só podem coincidir se x=0. Assim a interseção é trivial.

Resposta

Ficou demonstrado que
V = W_1 \oplus W_2 \quad\Longleftrightarrow\quad \text{cada }v\in V\text{ tem decomposição única }v=w_1+w_2,\;w_1\in W_1,\;w_2\in W_2.çãú

Exercícios relacionados