Encontre um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
W=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} ; x-y=0 \quad \mathrm{e}-x+w=0\right\}.

Passo 1

O enunciado nos dá o subespaço
W=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-y=0 \quad\text{e}\quad -x+w=0\}
e pede um conjunto de geradores. O conteúdo aqui é resolver um sistema de equações lineares para expressar W em forma paramétrica e, a partir daí, extrair vetores que gerem todo o subespaço.

Passo 2

Das equações
x - y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = x,
-\,x + w = 0 \quad\Longrightarrow\quad w = x.
Logo, qualquer vetor em W tem a forma
(x,y,z,w) = (x,\;x,\;z,\;x).

Passo 3

Para parametrizar, tomamos as variáveis livres t=x e s=z. Então
(x,y,z,w) = (t,\;t,\;s,\;t).

Passo 4

Reescrevendo como combinação linear:
(t,t,s,t) = t\,(1,1,0,1) \;+\; s\,(0,0,1,0).
Portanto, os vetores (1,1,0,1) e (0,0,1,0) geram W.

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
\{(1,1,0,1),\;(0,0,1,0)\}.

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