Dados
tais que
e
, prove que
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede. São dadas as informações:
-
. -
. -
.
O que precisa ser provado:
- Mostrar que
.
Passo 2
Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicadas de maneira simples).
- Se
então a diferença é positiva, isto é, . Porque subtrair de ambos os lados preserva a desigualdade. - Se temos dois números positivos, o produto deles é positivo. Em particular, se
e então . Essa é uma propriedade básica da ordem nos reais: multiplicar por um número positivo preserva o sinal. - A propriedade distributiva da multiplicação sobre a subtração: para quaisquer reais
, vale .
Vamos aplicar essas propriedades ao caso dado.
Passo 3
Transformar a desigualdade inicial em uma diferença positiva. Como
, subtraindo
de ambos os lados obtemos
Isso é só reescrever a desigualdade como diferença positiva.
Passo 4
Multiplicar essa diferença por
. Sabendo que
e que
, pelo fato de que o produto de dois números positivos é positivo segue que
Passo 5
Usar distributividade para expandir o produto do passo anterior. Pela propriedade distributiva,
Como essa quantidade é
, temos
Passo 6
Reescrever a desigualdade do passo anterior isolando
. Se
então, somando
aos dois lados,
Isto é exatamente
que é o que queríamos provar.
Passo 7
Comentário final e exemplo numérico para fixar a ideia. A prova acima é totalmente geral e vale para quaisquer
com
e
. Exemplo rápido: se
,
e
então
e
, conforme a conclusão.