Dados x, y, z \in \mathbb{R} tais que z>0 e x<y, prove que
z x<z y

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede. São dadas as informações:
  • x,y,z\in\mathbb{R}.
  • z>0.
  • x<y.
O que precisa ser provado:
  • Mostrar que \;z x<z y.

Passo 2

Ideia geral e propriedades que vamos usar (explicadas de maneira simples).
  • Se a<b então a diferença b-a é positiva, isto é, b-a>0. Porque subtrair a de ambos os lados preserva a desigualdade.
  • Se temos dois números positivos, o produto deles é positivo. Em particular, se p>0 e q>0 então pq>0. Essa é uma propriedade básica da ordem nos reais: multiplicar por um número positivo preserva o sinal.
  • A propriedade distributiva da multiplicação sobre a subtração: para quaisquer reais u,v,w, vale \;u(v-w)=uv-uw.
Vamos aplicar essas propriedades ao caso dado.

Passo 3

Transformar a desigualdade inicial em uma diferença positiva. Como x<y, subtraindo x de ambos os lados obtemos
y-x>0.
Isso é só reescrever a desigualdade como diferença positiva.

Passo 4

Multiplicar essa diferença por z. Sabendo que z>0 e que y-x>0, pelo fato de que o produto de dois números positivos é positivo segue que
z\bigl(y-x\bigr)>0.

Passo 5

Usar distributividade para expandir o produto do passo anterior. Pela propriedade distributiva,
z\bigl(y-x\bigr)=zy-zx.
Como essa quantidade é >0, temos
zy-zx>0.

Passo 6

Reescrever a desigualdade do passo anterior isolando zx. Se zy-zx>0 então, somando zx aos dois lados,
zy>zx.
Isto é exatamente
zx<zy,
que é o que queríamos provar.

Passo 7

Comentário final e exemplo numérico para fixar a ideia. A prova acima é totalmente geral e vale para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R} com z>0 e x<y. Exemplo rápido: se x=1, y=3 e z=2 então 1<3 e 2\cdot1=2<6=2\cdot3, conforme a conclusão.

Resposta

zx<zy

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