Seja
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
e pede para provar duas coisas:
- que
; - que
.
Informações relevantes fornecidas:
- Os elementos de
são todos da forma com natural (isto é, ). - O menor dos primeiros elementos é
(quando ) e os termos vão diminuindo para valores positivos mais próximos de quando aumenta.
Passo 2
Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Um número
é uma cota inferior (lower bound) de se, para todo , tem-se . - O ínfimo
é a maior cota inferior: é uma cota inferior e nenhuma outra cota inferior maior do que ela existe. - Um número
é uma cota superior (upper bound) de se, para todo , tem-se . - O supremo
é a menor cota superior: é uma cota superior e nenhuma outra cota superior menor do que ela existe.
Vou aplicar essas definições ao conjunto
.
Passo 3
Primeira etapa: mostrar que
é uma cota inferior de
.
Raciocínio: todo termo da forma
é positivo, porque
para todo
. Logo, para todo
vale
Portanto
é uma cota inferior de
.
Passo 4
Segunda etapa: mostrar que
é a maior cota inferior (ou seja, que qualquer número positivo não pode ser cota inferior). Em termos práticos, para provar
é suficiente mostrar que, dado qualquer
, existe
com
.
Estratégia concreta: dado
queremos encontrar
tal que
Isto é equivalente a
Passo 5
Provar um fato útil: a sequência
cresce sem limite, mais precisamente
para todo
. Vou provar isso por indução (é um modo elementar de ver que
fica arbitrariamente grande).
Base
:
e
, logo
.
Passo indutivo: suponha
para algum
. Então
pois
para todo
. Assim
. Conclusão: por indução,
para todo
.
Passo 6
Usar o fato acima para concluir que
pode ser feita maior que qualquer número real
.
Dado
escolhe-se um inteiro
com
(isso é possível por propriedade básica dos inteiros). Então, usando o resultado do passo anterior,
Portanto existe
tal que
. Aplicando isso com
(onde
é dado), obtemos um
tal que
, o que implica
Passo 7
Conclusão sobre o ínfimo: como
é cota inferior (Passo 3) e para qualquer
existe
com
(Passos 4–6), isso mostra que não existe cota inferior maior que
. Logo
é a maior cota inferior, isto é,
Passo 8
Agora o supremo: mostrar que
é a menor cota superior de
.
Primeiro,
é uma cota superior porque, para todo
(lembrando
),
Isto ocorre porque
quando
. Portanto todo elemento de
é menor ou igual a
.
Passo 9
Mostrar que
é a menor cota superior: note que
(é o termo com
). Isso implica que qualquer número
não pode ser cota superior, pois existe um elemento de
(precisamente
) que é maior do que
. Assim não existe cota superior menor que
.
Portanto
é a menor cota superior, isto é,