Seja X=\left\{\frac{1}{2^{n}}: n \in \mathbb{N}\right\}. Prove que \inf X=0 \mathrm{e} \sup X=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto X=\left\{\dfrac{1}{2^{n}}: n\in\mathbb{N}\right\} e pede para provar duas coisas:
  • que \inf X=0;
  • que \sup X=\dfrac{1}{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os elementos de X são todos da forma \dfrac{1}{2^n} com n natural (isto é, n=1,2,3,\ldots).
  • O menor dos primeiros elementos é \dfrac{1}{2} (quando n=1) e os termos vão diminuindo para valores positivos mais próximos de 0 quando n aumenta.

Passo 2

Definições que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Um número L é uma cota inferior (lower bound) de X se, para todo x\in X, tem-se L\le x.
  • O ínfimo \inf X é a maior cota inferior: é uma cota inferior e nenhuma outra cota inferior maior do que ela existe.
  • Um número U é uma cota superior (upper bound) de X se, para todo x\in X, tem-se x\le U.
  • O supremo \sup X é a menor cota superior: é uma cota superior e nenhuma outra cota superior menor do que ela existe.
Vou aplicar essas definições ao conjunto X.

Passo 3

Primeira etapa: mostrar que 0 é uma cota inferior de X.
Raciocínio: todo termo da forma \dfrac{1}{2^{n}} é positivo, porque 2^{n}>0 para todo n. Logo, para todo x\in X vale
0 \le x.
Portanto 0 é uma cota inferior de X.

Passo 4

Segunda etapa: mostrar que 0 é a maior cota inferior (ou seja, que qualquer número positivo não pode ser cota inferior). Em termos práticos, para provar \inf X=0 é suficiente mostrar que, dado qualquer c>0, existe x\in X com x<c.
Estratégia concreta: dado c>0 queremos encontrar n\in\mathbb{N} tal que
\frac{1}{2^{n}}<c.
Isto é equivalente a
2^{n}>\frac{1}{c}.

Passo 5

Provar um fato útil: a sequência 2^{n} cresce sem limite, mais precisamente 2^{n}\ge n+1 para todo n\in\mathbb{N}. Vou provar isso por indução (é um modo elementar de ver que 2^{n} fica arbitrariamente grande).
Base n=1: 2^{1}=2 e n+1=2, logo 2^{1}\ge 1+1.
Passo indutivo: suponha 2^{k}\ge k+1 para algum k\ge1. Então
2^{k+1}=2\cdot 2^{k}\ge 2(k+1)=2k+2\ge k+2,
pois 2k+2\ge k+2 para todo k. Assim 2^{k+1}\ge (k+1)+1. Conclusão: por indução, 2^{n}\ge n+1 para todo n.

Passo 6

Usar o fato acima para concluir que 2^{n} pode ser feita maior que qualquer número real M>0.
Dado M>0 escolhe-se um inteiro N com N>M (isso é possível por propriedade básica dos inteiros). Então, usando o resultado do passo anterior,
2^{N}\ge N+1 > M.
Portanto existe n tal que 2^{n}>M. Aplicando isso com M=\dfrac{1}{c} (onde c>0 é dado), obtemos um n tal que 2^{n}>\dfrac{1}{c}, o que implica
\frac{1}{2^{n}}<c.

Passo 7

Conclusão sobre o ínfimo: como 0 é cota inferior (Passo 3) e para qualquer c>0 existe x\in X com x<c (Passos 4–6), isso mostra que não existe cota inferior maior que 0. Logo 0 é a maior cota inferior, isto é,
\inf X = 0.

Passo 8

Agora o supremo: mostrar que \dfrac{1}{2} é a menor cota superior de X.
Primeiro, \dfrac{1}{2} é uma cota superior porque, para todo n\in\mathbb{N} (lembrando n\ge1),
\frac{1}{2^{n}}\le \frac{1}{2}.
Isto ocorre porque 2^{n}\ge 2 quando n\ge1. Portanto todo elemento de X é menor ou igual a \dfrac{1}{2}.

Passo 9

Mostrar que \dfrac{1}{2} é a menor cota superior: note que \dfrac{1}{2}\in X (é o termo com n=1). Isso implica que qualquer número U<\dfrac{1}{2} não pode ser cota superior, pois existe um elemento de X (precisamente \dfrac{1}{2}) que é maior do que U. Assim não existe cota superior menor que \dfrac{1}{2}.
Portanto \dfrac{1}{2} é a menor cota superior, isto é,
\sup X = \frac{1}{2}.

Resposta

\inf X = 0
\sup X = \dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados