Dados: A=x+y, B=x+2 hat z e C=2 y+z, calcule: (A times B) times C e compare este resultado com o de A times(B times C).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores:
  • A = x + y
  • B = x + 2z
  • C = 2y + z
O exercício nos pede para calcular dois produtos vetoriais diferentes:
  1. (A times B) times C
  2. A times (B times C)
Depois, devemos comparar os resultados desses dois cálculos. Para isso, vamos precisar saber como calcular o produto vetorial entre dois vetores e entender algumas propriedades desses produtos.

Passo 2

Vamos começar calculando o primeiro produto vetorial: A times B.
Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores U = Uxx + Uyy + Uzz e V = Vxx + Vyy + Vzz é dado por:
U times V = x & y & z Ux & Uy & Uz Vx & Vy & Vz
Vamos aplicar isso para A e B.

Passo 3

Calculando A times B:
A = x + y Rightarrow Ax = 1, Ay = 1, Az = 0
B = x + 2z Rightarrow Bx = 1, By = 0, Bz = 2
Agora, montamos a matriz:
A times B = x & y & z 1 & 1 & 0 1 & 0 & 2
Calculando o determinante:
= x(1 cdot 2 - 0 cdot 0) - y(1 cdot 2 - 0 cdot 1) + z(1 cdot 0 - 1 cdot 1)
Simplificando:
= 2x - 2y - 1z
Então:
A times B = 2x - 2y - z

Passo 4

Agora, vamos calcular (A times B) times C. Já temos A times B = 2x - 2y - z.
E C = 2y + z.
Vamos chamar D = A times B = 2x - 2y - z.
Então, precisamos calcular D times C.

Passo 5

Calculando D times C:
D = 2x - 2y - z Rightarrow Dx = 2, Dy = -2, Dz = -1
C = 2y + z Rightarrow Cx = 0, Cy = 2, Cz = 1
Montamos a matriz:
D times C = x & y & z 2 & -2 & -1 0 & 2 & 1
Calculando o determinante:
= x((-2) cdot 1 - (-1) cdot 2) - y(2 cdot 1 - (-1) cdot 0) + z(2 cdot 2 - (-2) cdot 0)
Simplificando:
= x(-2 + 2) - y(2 - 0) + z(4 - 0)
= 0x - 2y + 4z
Então:
(A times B) times C = -2y + 4z

Passo 6

Agora, vamos calcular o segundo produto vetorial: A times (B times C).
Primeiro, precisamos encontrar B times C.

Passo 7

Calculando B times C:
B = x + 2z Rightarrow Bx = 1, By = 0, Bz = 2
C = 2y + z Rightarrow Cx = 0, Cy = 2, Cz = 1
Montamos a matriz:
B times C = x & y & z 1 & 0 & 2 0 & 2 & 1
Calculando o determinante:
= x(0 cdot 1 - 2 cdot 2) - y(1 cdot 1 - 2 cdot 0) + z(1 cdot 2 - 0 cdot 0)
Simplificando:
= x(0 - 4) - y(1 - 0) + z(2 - 0)
= -4x - y + 2z
Então:
B times C = -4x - y + 2z

Passo 8

Agora, precisamos calcular A times (B times C) = A times (-4x - y + 2z).
Vamos chamar E = B times C = -4x - y + 2z.
Então, calculamos A times E.

Passo 9

Calculando A times E:
A = x + y Rightarrow Ax = 1, Ay = 1, Az = 0
E = -4x - y + 2z Rightarrow Ex = -4, Ey = -1, Ez = 2
Montamos a matriz:
A times E = x & y & z 1 & 1 & 0 -4 & -1 & 2
Calculando o determinante:
= x(1 cdot 2 - 0 cdot (-1)) - y(1 cdot 2 - 0 cdot (-4)) + z(1 cdot (-1) - 1 cdot (-4))
Simplificando:
= x(2 - 0) - y(2 - 0) + z(-1 + 4)
= 2x - 2y + 3z
Então:
A times (B times C) = 2x - 2y + 3z

Resposta

Após os cálculos, temos:
  • (A times B) times C = -2y + 4z
  • A times (B times C) = 2x - 2y + 3z
Os dois resultados são diferentes, confirmando que, em geral, o produto vetorial não é associativo.

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