1. Dar a equação geral do plano que contém as retas:
\mathrm{r}: \quad \frac{\mathrm{x}-2}{3}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\mathrm{z} \quad \text { e } \quad \text { s: } \quad \frac{\mathrm{x}-2}{5}=\mathrm{y}-1=\frac{\mathrm{z}}{3}

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que contém as retas
r:\;\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=z \quad\text{e}\quad s:\;\frac{x-2}{5}=y-1=\frac{z}{3}.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos colocar cada reta em forma paramétrica, achar um ponto comum, obter dois vetores diretores, calcular o vetor normal pelo produto vetorial e finalmente escrever a equação geral do plano.

Passo 2

Escrevendo as retas em forma paramétrica:
para r, seja parâmetro t:
x=2+3t,\quad y=1+2t,\quad z=t.
para s, seja parâmetro u:
x=2+5u,\quad y=1+u,\quad z=3u.

Passo 3

Para achar a interseção, igualamos as coordenadas de r e s:
2+3t=2+5u,\quad 1+2t=1+u,\quad t=3u.
Da segunda equação 2t=u. Da terceira t=3u. Substituindo u=2t em t=3u t=6t, logo t=0 e u=0. Isso mostra que as retas se encontram em
P_0=(2,\,1,\,0).

Passo 4

Os vetores diretores são
\vec v_r=(3,2,1) e \vec v_s=(5,1,3).
O vetor normal do plano é
\vec n = \vec v_r \times \vec v_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 3&2&1\\\\ 5&1&3 \end{vmatrix} = (2\cdot3-1\cdot1)\,\mathbf{i} - (3\cdot3-1\cdot5)\,\mathbf{j} + (3\cdot1-2\cdot5)\,\mathbf{k} = (5,\,-4,\,-7).

Passo 5

A equação vetorial do plano é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0
ou seja
5(x-2)-4(y-1)-7(z-0)=0,
que se expande para
5x - 4y - 7z - 6 = 0.

Resposta

A equação geral do plano é
5x - 4y - 7z - 6 = 0.

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