Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto \mathbf{A}=(2,1,-1) c é paralclo aos vetores \vec{v}_{1}=(-1,2,-1) e \vec{v}_{2}=(3,0,-2) \quad\left(\vec{v}_{1}\right. e \vec{v}_{2} \quad \ell.i.).
2. Dar a equação geral do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, nos seguintes casos:
a) \mathrm{A}=(1,1,1), \quad \mathrm{B}=(3,2,5), \quad \mathrm{C}=(2,3,-1)
b) \mathrm{A}=(2,0,0), \quad \mathrm{B}=(0,0,1), \quad \mathrm{C}=(-1,-1,-2).
Passo 1
O enunciado quer duas coisas:
As equações paramétricas do plano que passa por A=(2,1,-1) e é paralelo aos vetores \vec v_1=(-1,2,-1) e \vec v_2=(3,0,-2).
As equações gerais (cartesianas) dos planos que passam pelos pontos A,B,C em dois casos:
a) A=(1,1,1), B=(3,2,5), C=(2,3,-1)
b) A=(2,0,0), B=(0,0,1), C=(-1,-1,-2)
Para (1) usaremos a forma paramétrica \mathbf r(s,t)=\mathbf r_0+s\,\vec v_1+t\,\vec v_2.
Para (2) encontraremos primeiro o vetor normal por produto vetorial e depois usaremos \mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0.
Passo 2
Forma paramétrica geral do plano com ponto base \mathbf r_0=(2,1,-1) e direções \vec v_1, \vec v_2:
Para cada tripla de pontos A,B,C, definimos \vec u=B-A e \vec v=C-A, calculamos \mathbf n=\vec u\times\vec v e então a equação \mathbf n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0, que expande para a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.