Dar as equações paramétricas do plano que passa pelo ponto \mathbf{A}=(2,1,-1) c é paralclo aos vetores \vec{v}_{1}=(-1,2,-1) e \vec{v}_{2}=(3,0,-2) \quad\left(\vec{v}_{1}\right. e \vec{v}_{2} \quad \ell.i.).
2. Dar a equação geral do plano que passa pelos pontos \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}, nos seguintes casos:
a) \mathrm{A}=(1,1,1), \quad \mathrm{B}=(3,2,5), \quad \mathrm{C}=(2,3,-1)
b) \mathrm{A}=(2,0,0), \quad \mathrm{B}=(0,0,1), \quad \mathrm{C}=(-1,-1,-2).

Passo 1

O enunciado quer duas coisas:
  1. As equações paramétricas do plano que passa por A=(2,1,-1) e é paralelo aos vetores \vec v_1=(-1,2,-1) e \vec v_2=(3,0,-2).
  2. As equações gerais (cartesianas) dos planos que passam pelos pontos A,B,C em dois casos:
    a) A=(1,1,1), B=(3,2,5), C=(2,3,-1)
    b) A=(2,0,0), B=(0,0,1), C=(-1,-1,-2)
    Para (1) usaremos a forma paramétrica
    \mathbf r(s,t)=\mathbf r_0+s\,\vec v_1+t\,\vec v_2.
    Para (2) encontraremos primeiro o vetor normal por produto vetorial e depois usaremos
    \mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0.

Passo 2

Forma paramétrica geral do plano com ponto base \mathbf r_0=(2,1,-1) e direções \vec v_1, \vec v_2:
\mathbf r(s,t) =\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}-1\\\ 2\\\ -1\end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso dá as coordenadas
\begin{cases} x=2 - s +3t,\\\ y=1 +2s+0\cdot t=1+2s,\\\ z=-1 -s -2t. \end{cases}

Passo 3

Para cada tripla de pontos A,B,C, definimos
\vec u=B-A e \vec v=C-A, calculamos
\mathbf n=\vec u\times\vec v e então a equação
\mathbf n\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0, que expande para
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.

Passo 4

Caso (a):
A=(1,1,1), B=(3,2,5), C=(2,3,-1).
\vec u=B-A=(2,1,4),\quad \vec v=C-A=(1,2,-2).
\mathbf n=\vec u\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} =(-10,\,8,\,3).
Equação do plano:
-10(x-1)+8(y-1)+3(z-1)=0 \;\Longrightarrow\; 10x-8y-3z+1=0.

Passo 5

Caso (b):
A=(2,0,0), B=(0,0,1), C=(-1,-1,-2).
\vec u=B-A=(-2,0,1),\quad \vec v=C-A=(-3,-1,-2).
\mathbf n=\vec u\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ -2 & 0 & 1\\\\ -3 & -1 & -2 \end{vmatrix} =(1,\,-7,\,2).
Equação do plano:
1\,(x-2)-7\,(y-0)+2\,(z-0)=0 \;\Longrightarrow\; x-7y+2z-2=0.

Resposta

As equações paramétricas do plano pedido são
\begin{cases} x=2 - s +3t,\\\ y=1 +2s,\\\ z=-1 -s -2t. \end{cases}
A equação geral do plano no caso (a) é
10x-8y-3z+1=0,
e no caso (b) é
x-7y+2z-2=0.

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