Dar a representação gráfica no plano de Argand - Gauss, o conjunto.
\{\mathrm{z} \in \mathbb{C} /|\mathrm{z}| \leq 3\}

Passo 1

O enunciado pede: representar graficamente no plano de Argand–Gauss o conjunto
\{\,\mathrm{z}\in\mathbb{C}\mid |\mathrm{z}|\leq 3\,\}.
Informações dadas:
\text{todo número complexo }\mathrm{z}\text{ cujo módulo }|\mathrm{z}|\text{ é menor ou igual a }3.úóé
Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos recordar o que significa o módulo de um complexo e como ligá‑lo a coordenadas no plano. Se
\mathrm{z}=x+iy
com x,y\in\mathbb{R}, então o módulo é a distância do ponto (x,y) à origem e é dado por
|\mathrm{z}|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Explicando devagar: x é a parte real (coordenada horizontal) e y é a parte imaginária (coordenada vertical). A expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} vem do teorema de Pitágoras para a distância de (x,y) até (0,0).

Passo 3

Substituímos a expressão do módulo na desigualdade do enunciado:
|\mathrm{z}|\leq 3 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq 3.
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambos são não negativos) obtemos a forma cartesiana
x^{2}+y^{2}\leq 9.
Aqui explique: elevar ao quadrado preserva a desigualdade entre números não negativos, então não estamos mudando a solução.

Passo 4

Interpretando geometricamente, a equação
x^{2}+y^{2}=9
é a circunferência de centro (0,0) e raio 3. A desigualdade
x^{2}+y^{2}\leq 9
significa todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a 3 — ou seja, a circunferência e tudo que está dentro dela. Em linguagem geométrica: é o disco fechado de centro na origem e raio 3.

Passo 5

Características importantes para a prova (decora e pratique):
  • Centro: (0,0) (o ponto correspondente a \mathrm{z}=0).
  • Raio: 3.
  • “Fechado”: a desigualdade \leq indica que a fronteira (a circunferência de raio 3) está incluída.
  • Conjunto é convexo e contém a origem.

Passo 6

Exemplos rápidos para treinar a verificação de pontos:
  • \mathrm{z}=3 (i.e. x=3,y=0): |\mathrm{z}|=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=3, pertence (está na fronteira).
  • \mathrm{z}=0 (i.e. x=0,y=0): |\mathrm{z}|=0\leq 3, pertence (centro).
  • \mathrm{z}=2+2i: |\mathrm{z}|=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2{,}828\leq 3, pertence (interior).
  • \mathrm{z}=3+1i: |\mathrm{z}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}\approx 3{,}162>3, não pertence (fora).

Passo 7

Como desenhar no papel (passos práticos):
  1. Desenhe os eixos x (real) e y (imaginário) com a origem no centro.
  2. Marque o ponto 3 em x-positivo, -3 em x-negativo, 3i em y-positivo e -3i em y-negativo.
  3. Use um compasso com raio a distância entre a origem e 3 (mesma escala) e trace a circunferência de raio 3.
  4. Sombreie (ou pinte) todo o interior dessa circunferência e mantenha a borda desenhada — isso mostra o disco fechado.

Resposta

O conjunto é o disco fechado de centro em 0 e raio 3:
\{\,x+iy\in\mathbb{C}\mid x^{2}+y^{2}\leq 9\,\}.

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