Dar a representação gráfica no plano de Argand - Gauss, o conjunto.
Passo 1
O enunciado pede: representar graficamente no plano de Argand–Gauss o conjunto
Informações dadas:
Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vamos recordar o que significa o módulo de um complexo e como ligá‑lo a coordenadas no plano. Se
com
, então o módulo é a distância do ponto
à origem e é dado por
Explicando devagar:
é a parte real (coordenada horizontal) e
é a parte imaginária (coordenada vertical). A expressão
vem do teorema de Pitágoras para a distância de
até
.
Passo 3
Substituímos a expressão do módulo na desigualdade do enunciado:
Elevando ambos os lados ao quadrado (isso é seguro porque ambos são não negativos) obtemos a forma cartesiana
Aqui explique: elevar ao quadrado preserva a desigualdade entre números não negativos, então não estamos mudando a solução.
Passo 4
Interpretando geometricamente, a equação
é a circunferência de centro
e raio
. A desigualdade
significa todos os pontos cuja distância à origem é menor ou igual a
— ou seja, a circunferência e tudo que está dentro dela. Em linguagem geométrica: é o disco fechado de centro na origem e raio
.
Passo 5
Características importantes para a prova (decora e pratique):
- Centro:
(o ponto correspondente a ). - Raio:
. - “Fechado”: a desigualdade
indica que a fronteira (a circunferência de raio ) está incluída. - Conjunto é convexo e contém a origem.
Passo 6
Exemplos rápidos para treinar a verificação de pontos:
-
(i.e. ): , pertence (está na fronteira). -
(i.e. ): , pertence (centro). -
: , pertence (interior). -
: , não pertence (fora).
Passo 7
Como desenhar no papel (passos práticos):
- Desenhe os eixos
(real) e (imaginário) com a origem no centro. - Marque o ponto
em -positivo, em -negativo, em -positivo e em -negativo. - Use um compasso com raio a distância entre a origem e
(mesma escala) e trace a circunferência de raio . - Sombreie (ou pinte) todo o interior dessa circunferência e mantenha a borda desenhada — isso mostra o disco fechado.
Resposta
O conjunto é o disco fechado de centro em
e raio
: