Decida se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Prove ou dê contraexemplo.
Para quaisquer conjuntos
e
.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se, para quaisquer conjuntos
e
, vale sempre
O conteúdo envolvido é álgebra de conjuntos, em particular diferença e interseção de conjuntos.
Passo 2
Vamos calcular explicitamente
por meio de condição de pertinência. Seja um elemento genérico
. Temos:
se, e somente se,
se, e somente se,
-
, e -
.
Por definição de diferença,
Portanto
Distribuindo a conjunção sobre a disjunção, obtemos
O primeiro termo é sempre falso, restando
ou seja,
Passo 3
Concluímos que
e não, em geral, igual a
. A identidade
só ocorre quando
. Logo, a afirmação do enunciado é falsa, pois não exige
.
Passo 4
Um contraexemplo simples:
Tome e
. Então
Tome
enquanto
.
Resposta
A afirmação é falsa. De fato
em geral, e o contraexemplo acima mostra a desigualdade.