a) Mostre com um contraexemplo que a igualdade (A-B)-C=A-(B-C) não é válida para quaisquer conjuntos A, B e C.
b) No entanto, uma das inclusões é sempre válida. Qual? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a operação de diferença de conjuntos não é, em geral, associativa, ou seja, que
(A - B) - C \neq A - (B - C)
por meio de um contraexemplo. Em seguida, precisamos identificar uma inclusão que seja sempre válida entre esses dois conjuntos. Para isso, vamos usar a definição de diferença de conjuntos:
X - Y = \{\,x \mid x \in X \text{ e } x \notin Y\}.

Passo 2

Escolhemos os conjuntos
\displaystyle A=\{1,2\}, \displaystyle B=\{2\} e \displaystyle C=\{1\}.
Calculamos primeiro
A - B = \{1,2\} - \{2\} = \{1\},
portanto
(A - B) - C = \{1\} - \{1\} = \emptyset.
Agora
B - C = \{2\} - \{1\} = \{2\},
logo
A - (B - C) = \{1,2\} - \{2\} = \{1\}.
Como \emptyset \neq \{1\}, concluímos que (A - B) - C \neq A - (B - C).

Passo 3

Vamos provar que sempre vale
(A - B) - C \;\subseteq\; A - (B - C).
Seja x\in (A - B) - C. Então
  1. x\in A,
  2. x\notin B,
  3. x\notin C.
Para que x\in B - C fosse verdade, precisaríamos ter x\in B e x\notin C, mas isso contradiz x\notin B. Logo x\notin B - C. Como x\in A e x\notin B - C, segue x\in A - (B - C). Assim mostramos
(A - B) - C \subseteq A - (B - C).

Resposta

a) Um contraexemplo é
A=\{1,2\}, B=\{2\}, C=\{1\}, pois
(A-B)-C = \emptyset \neq \{1\} = A-(B-C).
b) A inclusão sempre válida é
(A - B) - C \subseteq A - (B - C).

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