a) Mostre com um contraexemplo que a igualdade
não é válida para quaisquer conjuntos
e
.
b) No entanto, uma das inclusões é sempre válida. Qual? Justifique.
b) No entanto, uma das inclusões é sempre válida. Qual? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a operação de diferença de conjuntos não é, em geral, associativa, ou seja, que
por meio de um contraexemplo. Em seguida, precisamos identificar uma inclusão que seja sempre válida entre esses dois conjuntos. Para isso, vamos usar a definição de diferença de conjuntos:
Passo 2
Escolhemos os conjuntos
,
e
.
Calculamos primeiro
Calculamos primeiro
portanto
Agora
logo
Como
, concluímos que
.
Passo 3
Vamos provar que sempre vale
Seja
. Então
-
, -
, -
.
Para que
fosse verdade, precisaríamos ter
e
, mas isso contradiz
. Logo
. Como
e
, segue
. Assim mostramos
Resposta
a) Um contraexemplo é
,
,
, pois
b) A inclusão sempre válida é