Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se X_{1} e X_{2} são soluções do sistema A X=B, então X_{1}+X_{2} é solução de A X=B.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre um sistema linear não homogêneo
A X = B
e quer saber se, sempre que X_{1} e X_{2} são soluções (ou seja, satisfazem A X_{1}=B e A X_{2}=B), então a soma X_{1}+X_{2} também é solução desse mesmo sistema.

Passo 2

Como X_{1} e X_{2} satisfazem o sistema, temos
A X_{1} = B \quad\text{e}\quad A X_{2} = B.
Pela propriedade de linearidade da multiplicação matricial,
A\,(X_{1}+X_{2}) = A X_{1} + A X_{2} = B + B = 2\,B.

Passo 3

Para que X_{1}+X_{2} seja solução de A X = B, precisaríamos de
A\,(X_{1}+X_{2}) = B.
Mas acabamos de ver que A\,(X_{1}+X_{2})=2B. Logo, em geral
2B \neq B,
salvo no caso trivial em que B=0.

Passo 4

Contra-exemplo simples: seja
A = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}.
Duas soluções são X_{1}=1 e X_{2}=1, pois
A X_{1}=1\cdot1=1=B \quad\text{e}\quad A X_{2}=1\cdot1=1=B.
Porém
X_{1}+X_{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad A\,(X_{1}+X_{2})=1\cdot2=2\neq1,
logo X_{1}+X_{2} não resolve A X=B.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

Exercícios relacionados