Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre sistemas lineares homogêneos (isto é, da forma
) em que o número de equações
é maior que o número de incógnitas
. A afirmação a ser decidida é: “Todo sistema homogêneo com
é incompatível.” Vamos lembrar que um sistema homogêneo é sempre compatível (pois sempre admite a solução trivial
), e usar isso para julgar a afirmação.
Passo 2
Em qualquer sistema homogêneo
a solução
satisfaz todas as equações, independente de
e
. Logo, todo sistema homogêneo tem pelo menos uma solução, e portanto é sempre compatível.
Passo 3
Como a afirmação diz que “todo” sistema homogêneo com
é incompatível, basta apresentar um contraexemplo com
que tenha solução para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 4
Considere o sistema com
Aqui
resolve ambas as equações. Assim o sistema é compatível.
Resposta
(às vezes) falsa