Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Todo sistema linear homogêneo em que o número de equações é maior que o número de incógnitas é incompatível.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre sistemas lineares homogêneos (isto é, da forma A\mathbf{x}=\mathbf{0}) em que o número de equações m é maior que o número de incógnitas n. A afirmação a ser decidida é: “Todo sistema homogêneo com m>n é incompatível.” Vamos lembrar que um sistema homogêneo é sempre compatível (pois sempre admite a solução trivial \mathbf{x}=\mathbf{0}), e usar isso para julgar a afirmação.

Passo 2

Em qualquer sistema homogêneo
A\mathbf{x}=\mathbf{0},
a solução \mathbf{x}=\mathbf{0} satisfaz todas as equações, independente de m e n. Logo, todo sistema homogêneo tem pelo menos uma solução, e portanto é sempre compatível.

Passo 3

Como a afirmação diz que “todo” sistema homogêneo com m>n é incompatível, basta apresentar um contraexemplo com m>n que tenha solução para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 4

Considere o sistema com m=2\) equações e \(n=1\) incógnita \(x\): \[\begin{cases} x = 0,\\\\ 2x = 0. \end{cases}
Aqui m=2>1=n\], mas claramente \(x=0 resolve ambas as equações. Assim o sistema é compatível.

Resposta

(às vezes) falsa

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