Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.
Passo 1
O enunciado pergunta se todo sistema linear com menos equações do que incógnitas é necessariamente compatível indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Para analisar, vamos usar o conceito de posto de uma matriz e as condições de existência de solução de um sistema linear.
Passo 2
Lembrando do Teorema de Rouché–Capelli: um sistema
é compatível se, e somente se,
Se for compatível, o número de variáveis livres é
onde
é o número de incógnitas. Quando
, temos
, de modo que, se o sistema for compatível, haverá ao menos uma variável livre e então infinitas soluções.
Passo 3
Porém, a afirmativa exige que todo sistema com
seja indeterminado, ou seja, sempre compatível. Essa parte “sempre” falha porque o sistema pode ser incompatível caso
.
Passo 4
Contra-exemplo explícito: considere um sistema com
Aqui a matriz dos coeficientes é
. Já a matriz aumentada é
, cuja posto é 1. Como
o sistema é incompatível (não tem solução), contrariando a afirmação de que todo sistema com menos equações do que incógnitas seria compatível indeterminado.
Resposta
A afirmação é (às vezes) falsa.