Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Todo sistema linear em que o número de equações é menor que o número de incógnitas é compatível indeterminado.

Passo 1

O enunciado pergunta se todo sistema linear com menos equações do que incógnitas é necessariamente compatível indeterminado (isto é, tem infinitas soluções). Para analisar, vamos usar o conceito de posto de uma matriz e as condições de existência de solução de um sistema linear.

Passo 2

Lembrando do Teorema de Rouché–Capelli: um sistema Ax=b é compatível se, e somente se,
\mathrm{rank}(A) \;=\;\mathrm{rank}([A\mid b]).
Se for compatível, o número de variáveis livres é
n - \mathrm{rank}(A),
onde n é o número de incógnitas. Quando m<n, temos \mathrm{rank}(A)\le m<n, de modo que, se o sistema for compatível, haverá ao menos uma variável livre e então infinitas soluções.

Passo 3

Porém, a afirmativa exige que todo sistema com m<n seja indeterminado, ou seja, sempre compatível. Essa parte “sempre” falha porque o sistema pode ser incompatível caso \mathrm{rank}([A\mid b])>\mathrm{rank}(A).

Passo 4

Contra-exemplo explícito: considere um sistema com m=1\) equação e \(n=2\) incógnitas, \[\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y = 1. \end{cases}
Aqui a matriz dos coeficientes é A=[0\;\;0]\], logo \(\mathrm{rank}(A)=0. Já a matriz aumentada é [A\mid b]=[0\;\;0\mid1], cuja posto é 1. Como
\mathrm{rank}([A\mid b])=1>\mathrm{rank}(A)=0,
o sistema é incompatível (não tem solução), contrariando a afirmação de que todo sistema com menos equações do que incógnitas seria compatível indeterminado.

Resposta

A afirmação é (às vezes) falsa.

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