Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=B é incompatível, então a matriz A não é invertível.

Passo 1

O enunciado pertence a Álgebra Linear e trata da relação entre invertibilidade de uma matriz quadrada A e a existência de soluções para o sistema linear
A X = B.
Queremos decidir se é sempre verdadeira a afirmação: “Se A X=B é incompatível, então A não é invertível.”

Passo 2

Lembramos que uma matriz quadrada A de ordem n é invertível se, e somente se, para todo vetor B\in\mathbb{R}^n o sistema
A X = B
tem exatamente uma solução, dada por
X = A^{-1}B.
Em particular, se A é invertível, não há como o sistema ser incompatível (sem solução).

Passo 3

A negação lógica dessa equivalência é: se existe algum vetor B tal que A X=B não tenha solução, então A não pode ser invertível. Esse é exatamente o enunciado dado. Não há exceção: a inexistência de solução para algum B impede a existência de A^{-1}.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

Exercícios relacionados