Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se o sistema linear A X=0 é determinado, então A é linha equivalente à matriz identidade I_{n}.

Passo 1

O enunciado considera uma matriz quadrada A de ordem n e diz que o sistema linear homogêneo
A X = 0
é determinado, isto é, tem única solução. O objetivo é relacionar isso com o conceito de posto e de equivalência de linhas, para concluir sobre a relação de A com a identidade I_n.

Passo 2

Dizer que A X = 0 tem única solução significa que sua única solução é X=0. Em teoria de espaços vetoriais, isso equivale a afirmar que o espaço nulo de A é trivial, ou seja,
\ker(A)=\{0\}.
Logo, a dimensão do núcleo de A é
\dim\bigl(\ker(A)\bigr)=0.

Passo 3

Pelo Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem), para uma matriz n\times n vale
\dim\bigl(\ker(A)\bigr)+\rank(A)=n.
Como \dim(\ker(A))=0, segue que
\rank(A)=n.
Isto diz que A tem posto máximo e, por ser quadrada, é uma matriz invertível.

Passo 4

Um fato fundamental de Álgebra Linear é que uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, ela é linha-equivalente à matriz identidade I_n. Em outras palavras, há uma sequência de operações elementares de linha que transforma A em I_n.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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