Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Seja
uma matriz quadrada de ordem
. Se o sistema linear
é determinado, então
é linha equivalente à matriz identidade
.
( ) Seja
Passo 1
O enunciado considera uma matriz quadrada
de ordem
e diz que o sistema linear homogêneo
é determinado, isto é, tem única solução. O objetivo é relacionar isso com o conceito de posto e de equivalência de linhas, para concluir sobre a relação de
com a identidade
.
Passo 2
Dizer que
tem única solução significa que sua única solução é
. Em teoria de espaços vetoriais, isso equivale a afirmar que o espaço nulo de
é trivial, ou seja,
Logo, a dimensão do núcleo de
é
Passo 3
Pelo Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem), para uma matriz
vale
Como
, segue que
Isto diz que
tem posto máximo e, por ser quadrada, é uma matriz invertível.
Passo 4
Um fato fundamental de Álgebra Linear é que uma matriz quadrada
é invertível se, e somente se, ela é linha-equivalente à matriz identidade
. Em outras palavras, há uma sequência de operações elementares de linha que transforma
em
.
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.