Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se A \cdot B=C e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também o é.

Passo 1

O enunciado afirma: “Se A\cdot B=C e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também o é.”
O conteúdo aqui é a teoria de matrizes invertíveis, em particular que o produto de matrizes invertíveis é invertível e
(MN)^{-1} = N^{-1}M^{-1}.
Vamos verificar os três casos possíveis de pares invertíveis.

Passo 2

Caso 1: A e B são invertíveis.
Então
C = A\,B.
Como produto de invertíveis é invertível, concluímos que C é invertível e
C^{-1} = (A\,B)^{-1} = B^{-1}\,A^{-1}.

Passo 3

Caso 2: A e C são invertíveis.
Da igualdade
A\,B = C
multiplicamos à esquerda por A^{-1} e obtemos
B = A^{-1}\,C.
Como A^{-1} e C são invertíveis, seu produto é invertível. Logo B é invertível e
B^{-1} = C^{-1}\,A.

Passo 4

Caso 3: B e C são invertíveis.
Da mesma relação
A\,B = C
multiplicamos à direita por B^{-1} para achar
A = C\,B^{-1}.
Como C e B^{-1} são invertíveis, A também é invertível e
A^{-1} = B\,C^{-1}.

Resposta

A afirmação é sempre verdadeira.

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