Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também o é.
( ) Se
Passo 1
O enunciado afirma: “Se
e duas das matrizes são invertíveis, então a terceira também o é.”
O conteúdo aqui é a teoria de matrizes invertíveis, em particular que o produto de matrizes invertíveis é invertível e
O conteúdo aqui é a teoria de matrizes invertíveis, em particular que o produto de matrizes invertíveis é invertível e
Vamos verificar os três casos possíveis de pares invertíveis.
Passo 2
Caso 1:
e
são invertíveis.
Então
Então
Como produto de invertíveis é invertível, concluímos que
é invertível e
Passo 3
Caso 2:
e
são invertíveis.
Da igualdade
Da igualdade
multiplicamos à esquerda por
e obtemos
Como
e
são invertíveis, seu produto é invertível. Logo
é invertível e
Passo 4
Caso 3:
e
são invertíveis.
Da mesma relação
Da mesma relação
multiplicamos à direita por
para achar
Como
e
são invertíveis,
também é invertível e
Resposta
A afirmação é sempre verdadeira.