Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se A \cdot B=C e duas das matrizes são singulares, então a terceira também o é.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a veracidade da afirmação: “Se A\cdot B = C e duas das matrizes A,B,C são singulares, então a terceira também é singular.” O conteúdo aqui envolve noções de invertibilidade (matriz singular significa \det=0) e propriedades de produto de matrizes.

Passo 2

Uma propriedade clássica é que, se A ou B é singular, então C = A\cdot B também é singular. De fato, se A é singular existe vetor não nulo v tal que
A\,v=0,
logo
C\,v = A\,(B\,v)=0,
mostrando que C tem núcleo não trivial e, portanto, \det\text{(C)}=0. O mesmo raciocínio vale se B for singular.

Passo 3

Porém, se as duas matrizes singulares forem A e C, a matriz B pode muito bem ser invertível. Um contra-exemplo simples em dimensão n é
A = 0_{n\times n},\quad B = I_n,\quad C = A\cdot B = 0_{n\times n}.
Aqui A e C são singulares \det=0, mas B é invertível \det=1. Logo não é verdade que, escolhidas quaisquer duas singulares, a terceira deva sê-lo.

Resposta

A afirmação é às vezes falsa.

Exercícios relacionados