Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e duas das matrizes são singulares, então a terceira também o é.
( ) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar a veracidade da afirmação: “Se
e duas das matrizes
são singulares, então a terceira também é singular.” O conteúdo aqui envolve noções de invertibilidade (matriz singular significa
) e propriedades de produto de matrizes.
Passo 2
Uma propriedade clássica é que, se
ou
é singular, então
também é singular. De fato, se
é singular existe vetor não nulo
tal que
logo
mostrando que
tem núcleo não trivial e, portanto,
. O mesmo raciocínio vale se
for singular.
Passo 3
Porém, se as duas matrizes singulares forem
e
, a matriz
pode muito bem ser invertível. Um contra-exemplo simples em dimensão
é
Aqui
e
são singulares
, mas
é invertível
. Logo não é verdade que, escolhidas quaisquer duas singulares, a terceira deva sê-lo.
Resposta
A afirmação é às vezes falsa.