Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se
e duas das matrizes são singulares, então a terceira também o é.
( ) Se
Passo 1
O enunciado trata de três matrizes quadradas
,
e
de mesma ordem, relacionadas por
e afirma que “se duas delas são singulares, então a terceira também é singular”. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em particular singularidade (não invertibilidade) de matrizes e comportamento do núcleo
sob produto.
Passo 2
Lembremo-nos de que uma matriz
é singular se e somente se
. Além disso, se
for invertível, então
e, como
é bijetora, isso implica
. Logo
Isto mostra que, mesmo que
e
sejam singulares, nada obriga
a ser singular: basta
ser invertível.
Passo 3
Contra-exemplo explícito: seja
Então
é singular,
é inversível e
portanto
também é singular. Temos duas matrizes singulares
e
e uma não singular
. Isso mostra que a afirmação pode falhar.
Resposta
(às vezes) falsa.