Decida se a afirmação é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.
( ) Se A \cdot B=C e duas das matrizes são singulares, então a terceira também o é.

Passo 1

O enunciado trata de três matrizes quadradas A, B e C de mesma ordem, relacionadas por
A\cdot B = C,
e afirma que “se duas delas são singulares, então a terceira também é singular”. O conteúdo aqui é Álgebra Linear, em particular singularidade (não invertibilidade) de matrizes e comportamento do núcleo \ker sob produto.

Passo 2

Lembremo-nos de que uma matriz M é singular se e somente se \ker(M)\neq\{0\}. Além disso, se B for invertível, então
\ker(A B)=\{\,x\mid A(Bx)=0\}=\{\,x\mid Bx\in\ker(A)\}
e, como B é bijetora, isso implica \ker(A B)\cong\ker(A). Logo
A\text{ singular}\quad\Longleftrightarrow\quad AB\text{ singular, quando }B\text{ é invertível.}éí
Isto mostra que, mesmo que A e C=AB sejam singulares, nada obriga B a ser singular: basta B ser invertível.

Passo 3

Contra-exemplo explícito: seja
A = 0\quad(\text{matriz nula}),\quad B = I\quad(\text{matriz identidade}).
Então A é singular, B é inversível e
C = A\cdot B = 0,
portanto C também é singular. Temos duas matrizes singulares A e C e uma não singular B. Isso mostra que a afirmação pode falhar.

Resposta

(às vezes) falsa.

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