Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
A soma de duas funções ímpares é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pergunta se “a soma de duas funções ímpares é uma função ímpar”. O conteúdo aqui é a teoria de funções ímpares, cuja definição é: uma função h é ímpar se, para todo x em seu domínio,
h(-x) = -\,h(x).

Passo 2

Sejam f e g duas funções ímpares definidas em um mesmo domínio. Então, por definição, para todo x temos
f(-x) = -\,f(x) \quad\text{e}\quad g(-x) = -\,g(x).
Considere a função soma (f+g). Avaliando-a em -x:
(f+g)(-x) = f(-x) + g(-x) = \bigl(-\,f(x)\bigr) + \bigl(-\,g(x)\bigr) = -\bigl(f(x) + g(x)\bigr) = -\,(f+g)(x).
Isso mostra que (f+g)(-x) = -\,(f+g)(x) para todo x, isto é, f+g é uma função ímpar.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados