Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} onde f é par. Então, g \circ f é par.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas funções f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} e que f é par, ou seja, satisfaz
f(-x)=f(x)\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Queremos mostrar que a composição g\circ f também é par. Para isso, vamos usar a definição de função par e a propriedade de composição.

Passo 2

Para verificar se g\circ f é par, calculamos (g\circ f)(-x) e comparamos com (g\circ f)(x):
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(-x)\bigr).
Como f é par, temos f(-x)=f(x). Substituindo,
(g\circ f)(-x)=g\bigl(f(x)\bigr)=(g\circ f)(x).
Logo (g\circ f)(-x)=(g\circ f)(x) para todo x, isto é, g\circ f é par.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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