Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Sejam f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} pares. Então, g \circ f é par.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são funções pares de \mathbb{R} em \mathbb{R}, ou seja, satisfazem
f(-x)=f(x) \quad\text{e}\quad g(-x)=g(x)
para todo x\in\mathbb{R}. Precisamos decidir se a composição g\circ f também é par.

Passo 2

Para todo x\in\mathbb{R} vale
(g\circ f)(-x) = g\bigl(f(-x)\bigr).
Como f é par, f(-x)=f(x). Logo,
g\bigl(f(-x)\bigr) = g\bigl(f(x)\bigr) = (g\circ f)(x).
Portanto (g\circ f)(-x)=(g\circ f)(x) para todo x, o que mostra que g\circ f é par.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios relacionados