Decida se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas provando as afirmações verdadeiras e dando contra-exemplos nos casos em que são falsas.
Composição de funções do 2 grau é uma função do 2 grau.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dado f e g ambas funções polinomiais de segundo grau, a composição f\circ g também é sempre uma função de segundo grau. O conteúdo envolvido é a definição de grau de um polinômio e a regra que relaciona o grau de f\circ g com os graus de f e g.

Passo 2

Lembremos que, se f e g são polinômios não nulos, então vale
\deg(f\circ g)\;=\;\deg(f)\;\times\;\deg(g).
No nosso caso, como \deg(f)=2 e \deg(g)=2, teríamos em geral \deg(f\circ g)=2\times2=4.

Passo 3

Para ver concretamente que a composição pode ter grau 4, basta escolher um contra-exemplo simples. Seja
f(x)=x^2 \quad\text{e}\quad g(x)=x^2.
Então
(f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)=f(x^2)=(x^2)^2=x^4,
que é um polinômio de quarto grau, não de segundo grau.

Passo 4

Como encontramos um par de funções de segundo grau cuja composição tem grau 4, a afirmação “composição de funções do 2º grau é uma função do 2º grau” é falsa.

Resposta

Falsa. Um contra-exemplo é f(x)=x^2 e g(x)=x^2, pois (f\circ g)(x)=x^4, de grau 4.

Exercícios relacionados