Decida se cada uma das séries converge ou diverge. Justifique sua resposta: sumn=1^+infty n^32^n.

Passo 1

Vamos analisar a série . Essa série faz parte do estudo das séries infinitas, que envolvem a soma de termos que continuam indefinidamente. Para determinar se a série converge (ou seja, soma a um valor finito) ou diverge (não soma a um valor finito), vamos utilizar o Teste da Razão.

Passo 2

O Teste da Razão é uma ferramenta que nos ajuda a decidir sobre a convergência ou divergência de séries com termos que crescem ou decrescem de forma exponencial ou fatorial. Ele funciona calculando o limite do quociente entre termos consecutivos da série. A regra é simples:
  • Se o limite for menor que 1, a série converge.
  • Se for maior que 1, a série diverge.
  • Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Primeiro, identificamos o termo geral da série:
an = n^32^n
Em seguida, calculamos o próximo termo da série:
an+1 = (n+1)^32^n+1

Passo 4

Agora, calculamos o quociente entre an+1an = (n+1)^32^n+1 times 2^nn^3 = (n+1)^3n^3 times 12 e an+1an = (n+1n)^3 times 12 = (1 + 1n)^3 times 12 :
Simplificando:

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente quando L = limn to infty (1 + 1n)^3 times 12 = (1 + 0)^3 times 12 = 1 times 12 = 12 tende ao infinito:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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