Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respetivas matrizes na forma escada.
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 ) ;(ccccc 1 & 0 & 0 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 ) ;(cccc 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 ) ;(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar quatro matrizes e decidir quais delas estão na forma escada (também conhecida como forma escalonada reduzida). Para as que não estiverem nessa forma, a gente precisa encontrar a respectiva matriz na forma escada.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma escada. Essencialmente, uma matriz está na forma escada se:
  1. Pivôs (primeiros números diferentes de zero em cada linha) estão empilhados em uma direção diagonal para baixo da esquerda para a direita.
  2. As colunas que contêm pivôs só têm zeros abaixo e acima deles (no caso da forma escalonada reduzida).
  3. Todas as linhas de zeros, se existirem, estão na parte de baixo da matriz.
Vamos verificar cada uma das matrizes seguindo esses critérios!

Passo 2

Matriz 1:
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 0 & 1 & 0 & 2 )
Primeiro, vamos ver se está na forma escada:
  • O primeiro pivô é 1 na primeira linha, primeira coluna.
  • Na segunda linha, o primeiro número não zero também é 1 na primeira coluna, o que está errado porque o pivô da segunda linha deveria estar à direita do pivô da primeira linha.
Então, a Matriz 1 NÃO está na forma escada. Vamos arrumar isso usando operações de linha.
Passo para arrumar:
  • Subtrair a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 na primeira coluna da segunda linha.
Após a operação:
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 2 )
Agora, o pivô da segunda linha é 2 na segunda coluna, e o pivô da terceira linha é 1 na segunda coluna. Isso ainda não está perfeito, então vamos ajustar:
  • Subtrair (1/2) da segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 na segunda coluna da terceira linha.
Resultado final na forma escada:
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1.5 )

Passo 3

Matriz 2:
(ccccc 1 & 0 & 0 & 5 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 )
Vamos verificar:
  • Cada pivô está em uma posição diagonal.
  • Não há números diferentes de zero acima ou abaixo dos pivôs.
Tudo confere direitinho!
Então, a Matriz 2 já está na forma escada reduzida.

Passo 4

Matriz 3:
(cccc 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 )
Vamos ver se está na forma escada:
  • Os três primeiros pivôs estão certinhos na diagonal.
  • Mas olha só: na quarta linha, o primeiro elemento é 1, que deveria ser zero já que há um pivô na primeira coluna.
Portanto, a Matriz 3 NÃO está na forma escada. Vamos arrumar isso.
Passo para arrumar:
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na primeira coluna da quarta linha.
Após a operação:
(cccc 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & -6 )
Agora, os pivôs estão empilhados na diagonal, e não há números diferentes de zero nas colunas dos pivôs abaixo deles. Pronto, essa é a forma escada!

Passo 5

Matriz 4:
(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 1 )
Vamos verificar:
  • Os três primeiros pivôs estão na diagonal principal.
  • Mas na quarta linha, temos -1 na segunda coluna, onde já existe um pivô.
Assim, a Matriz 4 NÃO está na forma escada. Vamos corrigir isso.
Passo para arrumar:
  • Adicionar a segunda linha à quarta linha para eliminar o -1 na segunda coluna da quarta linha.
Após a operação:
(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 )
Agora, o pivô da quarta linha está na terceira coluna, mas já temos um pivô na terceira coluna na terceira linha. Para finalizar, podemos:
  • Subtrair a terceira linha da quarta linha para zerar o elemento na quarta linha, terceira coluna.
Resultado final na forma escada:
(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 )

Resposta

  • Matriz 2 já está na forma escada reduzida.
  • Matriz 1, Matriz 3 e Matriz 4 não estavam na forma escada, mas após as operações realizadas, suas formas escada são:
Matriz 1 na forma escada:
(cccc 1 & -2 & -1 & 0 0 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1.5 )
Matriz 3 na forma escada:
(cccc 1 & 0 & 0 & 5 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & -6 )
Matriz 4 na forma escada:
(ccc 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 )

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