Decida quais das matrizes abaixo estão na forma escada (ou escalonada reduzida). Para as que não estão encontre as suas respetivas matrizes na forma escada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar quatro matrizes e decidir quais delas estão na forma escada (também conhecida como forma escalonada reduzida). Para as que não estiverem nessa forma, a gente precisa encontrar a respectiva matriz na forma escada.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma forma escada. Essencialmente, uma matriz está na forma escada se:
- Pivôs (primeiros números diferentes de zero em cada linha) estão empilhados em uma direção diagonal para baixo da esquerda para a direita.
- As colunas que contêm pivôs só têm zeros abaixo e acima deles (no caso da forma escalonada reduzida).
- Todas as linhas de zeros, se existirem, estão na parte de baixo da matriz.
Vamos verificar cada uma das matrizes seguindo esses critérios!
Passo 2
Matriz 1:
Primeiro, vamos ver se está na forma escada:
- O primeiro pivô é 1 na primeira linha, primeira coluna.
- Na segunda linha, o primeiro número não zero também é 1 na primeira coluna, o que está errado porque o pivô da segunda linha deveria estar à direita do pivô da primeira linha.
Então, a Matriz 1 NÃO está na forma escada. Vamos arrumar isso usando operações de linha.
Passo para arrumar:
- Subtrair a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 na primeira coluna da segunda linha.
Após a operação:
Agora, o pivô da segunda linha é 2 na segunda coluna, e o pivô da terceira linha é 1 na segunda coluna. Isso ainda não está perfeito, então vamos ajustar:
- Subtrair (1/2) da segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 na segunda coluna da terceira linha.
Resultado final na forma escada:
Passo 3
Matriz 2:
Vamos verificar:
- Cada pivô está em uma posição diagonal.
- Não há números diferentes de zero acima ou abaixo dos pivôs.
Tudo confere direitinho!
Então, a Matriz 2 já está na forma escada reduzida.
Passo 4
Matriz 3:
Vamos ver se está na forma escada:
- Os três primeiros pivôs estão certinhos na diagonal.
- Mas olha só: na quarta linha, o primeiro elemento é 1, que deveria ser zero já que há um pivô na primeira coluna.
Portanto, a Matriz 3 NÃO está na forma escada. Vamos arrumar isso.
Passo para arrumar:
- Subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na primeira coluna da quarta linha.
Após a operação:
Agora, os pivôs estão empilhados na diagonal, e não há números diferentes de zero nas colunas dos pivôs abaixo deles. Pronto, essa é a forma escada!
Passo 5
Matriz 4:
Vamos verificar:
- Os três primeiros pivôs estão na diagonal principal.
- Mas na quarta linha, temos -1 na segunda coluna, onde já existe um pivô.
Assim, a Matriz 4 NÃO está na forma escada. Vamos corrigir isso.
Passo para arrumar:
- Adicionar a segunda linha à quarta linha para eliminar o -1 na segunda coluna da quarta linha.
Após a operação:
Agora, o pivô da quarta linha está na terceira coluna, mas já temos um pivô na terceira coluna na terceira linha. Para finalizar, podemos:
- Subtrair a terceira linha da quarta linha para zerar o elemento na quarta linha, terceira coluna.
Resultado final na forma escada:
Resposta
- Matriz 2 já está na forma escada reduzida.
- Matriz 1, Matriz 3 e Matriz 4 não estavam na forma escada, mas após as operações realizadas, suas formas escada são:
Matriz 1 na forma escada:
Matriz 3 na forma escada:
Matriz 4 na forma escada: