Seja M=(cc0 & 1 -1 & 0). Mostre que: Se A é uma matriz 2 times 2 então A M=M A se e somente se A=(cca & b -b & a).

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz 0 & 1 -1 & 0 e queremos mostrar que, para qualquer matriz a & b -b & a de , comuta com (ou seja, ) se e somente se tem a forma . A gente vai usar conceitos de multiplicação de matrizes e igualdade de matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz A = a & b c & d genérica de :
A gente vai calcular e separadamente para ver o que acontece quando elas são iguais.

Passo 3

Vamos calcular AM = a & b c & d 0 & 1 -1 & 0 = a cdot 0 + b cdot (-1) & a cdot 1 + b cdot 0 c cdot 0 + d cdot (-1) & c cdot 1 + d cdot 0 = -b & a -d & c :
MA = 0 & 1 -1 & 0 a & b c & d = 0 cdot a + 1 cdot c & 0 cdot b + 1 cdot d -1 cdot a + 0 cdot c & -1 cdot b + 0 cdot d = c & d -a & -b
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Para que , as correspondentes entradas das duas matrizes devem ser iguais. Assim, temos as seguintes equações:
Observando as equações 1 e 4, vemos que elas confirmam que . A equação 2 nos dá , e a equação 3 também confirma isso, já que implica .

Resposta

Portanto, a matriz A = a & b -b & a que comuta com deve ter a forma:

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