Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum \frac{1}{\sqrt{n^{2}(n+1)}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}(n+1)}}
converge ou diverge, indicando o critério usado. O conteúdo envolve séries numéricas e, mais especificamente, testes de comparação e séries p.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral de forma mais simples. Denotando
a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n^{2}(n+1)}},
temos
\sqrt{n^{2}(n+1)} = n\,\sqrt{n+1},
portanto
a_{n} = \frac{1}{n\,\sqrt{n+1}}.

Passo 3

Para comparar com uma série p, note que para grandes n vale \sqrt{n+1}\sim \sqrt{n}. Assim, escolhemos
b_{n} = \frac{1}{n^{3/2}},
que é uma série p com p=\tfrac32>1, logo \sum b_{n} converge.

Passo 4

Aplicamos o teste do limite comparativo. Calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n\sqrt{n+1}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{3/2}}{n\sqrt{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n}{\,n+1\,}} =1.
Como 0<L<\infty e \sum b_{n} converge, segue que \sum a_{n} também converge.

Resposta

A série converge, por critério do limite comparativo com a série p de expoente p=\tfrac32>1.

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