Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum \frac{n+1}{n(n-1)}

Passo 1

O enunciado nos pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n(n-1)}.
O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos usar dois testes clássicos: decomposição em frações parciais (para mostrar telescopagem) e, ao final, observar o comportamento dos somatórios para concluir divergência.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais. Queremos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{n+1}{n(n-1)}=\frac{A}{n-1}+\frac{B}{n}.
Multiplicando por n(n-1) obtemos
n+1 = A\,n + B\,(n-1) = (A+B)\,n - B.
Comparando coeficientes, vem
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ -\,B = 1, \end{cases}
logo B=-1\] e \(A=2. Assim
\frac{n+1}{n(n-1)} = \frac{2}{\,n-1\,}-\frac{1}{\,n\,}.

Passo 3

Agora construímos a soma parcial S_N=\sum_{n=2}^{N}\frac{n+1}{n(n-1)}. Substituindo a forma telescópica,
S_N = \sum_{n=2}^{N}\Bigl(\frac{2}{n-1}-\frac{1}{n}\Bigr) = 2\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n-1} \;-\;\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n}.
Fazendo a mudança de índice k=n-1 no primeiro somatório, ele vai de k=1 a k=N-1, ou seja
2\sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{k} \;-\;\Bigl(\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n}-1\Bigr) = 2H_{N-1} - (H_N - 1),
onde H_m=\sum_{k=1}^m\frac1k é o m-ésimo número harmônico. Simplificando,
S_N = 2H_{N-1}-H_N+1 = H_N +1 - \frac{2}{N}.

Passo 4

Sabemos que H_N\to\infty quando N\to\infty. Portanto
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty}\bigl(H_N +1 - \tfrac{2}{N}\bigr)=+\infty.
Como a soma parcial não se estabiliza em número finito, a série diverge. O critério usado foi a telescopagem via frações parciais, que mostra explicitamente S_N\to\infty.

Resposta

A série diverge (critério da telescopagem / comportamento harmônico).

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