Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum 1 /\left(10^{n}\right)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^{n}}
converge ou diverge, indicando o critério usado. O conteúdo da matéria aqui é séries numéricas, em particular séries geométricas ou análise pelo teste da razão.

Passo 2

Devemos reconhecer que os termos da série formam uma progressão geométrica com primeiro termo
a_1 = \frac{1}{10}
e razão
r = \frac{1/10^{2}}{1/10^{1}} = \frac{1}{10}.

Passo 3

Pelo critério da série geométrica, uma série
\sum_{n=1}^{\infty}a_1\,r^{\,n-1}
converge se e somente se \lvert r\rvert<1. Aqui \lvert r\rvert = \tfrac{1}{10}<1, portanto a série converge.

Passo 4

Para referência, a soma de uma série geométrica convergente é
\sum_{n=1}^{\infty}a_1\,r^{\,n-1} = \frac{a_1}{1-r}.
Substituindo a_1=\tfrac{1}{10} e r=\tfrac{1}{10}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{10^{n}} = \frac{\tfrac{1}{10}}{1-\tfrac{1}{10}} = \frac{1/10}{9/10} = \frac{1}{9}.

Resposta

A série converge pelo critério da série geométrica (razão r = \tfrac{1}{10}<1).
Opcionalmente, sua soma é \tfrac{1}{9}.

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