Decida sobre a veracidade das afirmações abaixo justificando suas respostas
Se
é uma função diferenciável em
então ela é contínua em
.
Se
Passo 1
O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e que justifiquemos a resposta:
Seja
uma função. Afirma-se: “Se
é diferenciável em
então ela é contínua em
.”
Informações dadas:
- Supõe-se que
é diferenciável em , isto é, o limite que define a derivada em existe e é finito. - A pergunta é se, a partir dessa hipótese, segue-se que
é contínua em (ou seja, se ).
Passo 2
Definições importantes (explicadas de forma direta):
-
é diferenciável em significa que existe o número real
isto é, esse limite existe e é finito. Aqui
é o quociente diferencial quando
.
-
é contínua em significa que
Ou equivalentemente
.
Passo 3
Idéia da prova (passo-algebra): para
podemos escrever a diferença
como produto do quociente diferencial por
:
Essa igualdade é apenas uma reescrita algebraica e vale para todo
próximo de
, com
.
Passo 4
Agora tomamos limite quando
em ambos os lados da igualdade do passo anterior. Pelo fato de
ser diferenciável em
sabemos que
existe (é finito). E claramente
Pela regra do limite do produto (produto de dois limites finitos), obtemos
Passo 5
Da igualdade
segue que
. Portanto
é contínua em
. Concluímos que a afirmação é verdadeira: diferenciabilidade em
implica continuidade em
.
Passo 6
Comentário didático extra (útil para prova): a recíproca é falsa — continuidade não garante diferenciabilidade. Um exemplo clássico é
Esse
é contínuo em
(pois
), mas não é diferenciável em
porque as derivadas laterais existem e são diferentes:
logo o limite do quociente diferencial não existe em
.
Resposta
Verdadeiro.