Decida sobre a veracidade das afirmações abaixo justificando suas respostas
Se f é uma função diferenciável em x=a então ela é contínua em x=a.

Passo 1

O enunciado pede que decidamos se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e que justifiquemos a resposta:
Seja f uma função. Afirma-se: “Se f é diferenciável em x=a então ela é contínua em x=a.”
Informações dadas:
  • Supõe-se que f é diferenciável em x=a, isto é, o limite que define a derivada em a existe e é finito.
  • A pergunta é se, a partir dessa hipótese, segue-se que f é contínua em x=a (ou seja, se \lim_{x\to a} f(x)=f(a)).

Passo 2

Definições importantes (explicadas de forma direta):
  • f é diferenciável em x=a significa que existe o número real
f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},
isto é, esse limite existe e é finito. Aqui \frac{f(x)-f(a)}{x-a} é o quociente diferencial quando x\neq a.
  • f é contínua em x=a significa que
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Ou equivalentemente \lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=0.

Passo 3

Idéia da prova (passo-algebra): para x\neq a podemos escrever a diferença f(x)-f(a) como produto do quociente diferencial por (x-a):
f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a).
Essa igualdade é apenas uma reescrita algebraica e vale para todo x próximo de a, com x\neq a.

Passo 4

Agora tomamos limite quando x\to a em ambos os lados da igualdade do passo anterior. Pelo fato de f ser diferenciável em a sabemos que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)
existe (é finito). E claramente
\lim_{x\to a}(x-a)=0.
Pela regra do limite do produto (produto de dois limites finitos), obtemos
\lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=\left(\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\right)\cdot\left(\lim_{x\to a}(x-a)\right)=f'(a)\cdot 0=0.

Passo 5

Da igualdade \lim_{x\to a}\bigl(f(x)-f(a)\bigr)=0 segue que \lim_{x\to a} f(x)=f(a). Portanto f é contínua em x=a. Concluímos que a afirmação é verdadeira: diferenciabilidade em a implica continuidade em a.

Passo 6

Comentário didático extra (útil para prova): a recíproca é falsa — continuidade não garante diferenciabilidade. Um exemplo clássico é
f(x)=|x|.
Esse f é contínuo em \,x=0 (pois \lim_{x\to 0}|x|=0=f(0)), mas não é diferenciável em \,x=0 porque as derivadas laterais existem e são diferentes:
\lim_{x\to 0^+}\frac{|x|-|0|}{x-0}=1,\qquad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|-|0|}{x-0}=-1,
logo o limite do quociente diferencial não existe em 0.

Resposta

Verdadeiro.

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