Determine as derivadas das funções abaixo:
f(x)=10 x+3 \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
f(x)=10x+3\cos(x).
Informações dadas:
\text{função } f(x)=10x+3\cos(x),\quad x\in\mathbb{R}.çã
O que precisamos encontrar: a função derivada f'(x), isto é, a taxa de variação de f em qualquer ponto x.

Passo 2

O que é derivada (rápida lembrança): a derivada de uma função g num ponto x é o limite
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h},
quando esse limite existe. Ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de g no ponto x.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas e muito úteis na prova):
  1. Linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então
g'(x)=u'(x)+v'(x).
Isso vem diretamente da definição e da propriedade de limite de soma de funções. Intuitivamente: a taxa de variação total é a soma das taxas de variação das parcelas.
  1. Constante multiplicando: se g(x)=c\cdot u(x) com c constante, então
g'(x)=c\cdot u'(x).
Novamente, isso sai da propriedade de fator constante em limites.
Vamos aplicar essas regras a f(x)=10x+3\cos(x): podemos derivar 10x e 3\cos(x) separadamente e somar os resultados.

Passo 4

Derivada da parte linear 10x.
Use a definição ou a regra direta: para qualquer constante a,
\frac{d}{dx}\bigl(a x\bigr)=a.
Prova rápida pela definição: para g(x)=10x,
g'(x)=\lim_{h\to0}\frac{10(x+h)-10x}{h}=\lim_{h\to0}\frac{10h}{h}=\lim_{h\to0}10=10.
Portanto a derivada de 10x é 10.

Passo 5

Derivada da parte trigonométrica 3\cos(x).
Pela regra do fator constante a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl(3\cos(x)\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr).
Então precisamos do valor de \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr).
Resultado padrão (que usamos frequentemente):
\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Se quiser ver um esboço da demonstração rápida: use a identidade trigonométrica
\cos(x+h)-\cos(x)=-2\sin\!\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr),
então
\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=-2\sin\!\bigl(x+\tfrac{h}{2}\bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{h}{2}\bigr)}{h}.
Note que \displaystyle\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{h}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}} e sabemos o limite fundamental
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.
Assim, ao tomar h\to0 obtemos
\lim_{h\to0}\frac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=-2\sin(x)\cdot\frac{1}{2}=-\sin(x).
Portanto \frac{d}{dx}\bigl(\cos(x)\bigr)=-\sin(x), e pela constante multiplicativa:
\frac{d}{dx}\bigl(3\cos(x)\bigr)=3\cdot(-\sin(x))=-3\sin(x).

Passo 6

Agora somamos as derivadas das duas parcelas (regra da soma):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(10x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(3\cos(x)\bigr)=10+(-3\sin(x)).
Simplificando:
f'(x)=10-3\sin(x).

Passo 7

Pequena checagem num ponto (útil para ganhar confiança): em x=0,
f'(0)=10-3\sin(0)=10-3\cdot 0=10,
o que faz sentido: perto de 0 a parte \cos(x) varia lentamente, então a inclinação é próxima de 10.

Resposta

f'(x)=10-3\sin(x)

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