Determine as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
O que precisamos encontrar: a função derivada
, isto é, a taxa de variação de
em qualquer ponto
.
Passo 2
O que é derivada (rápida lembrança): a derivada de uma função
num ponto
é o limite
quando esse limite existe. Ela representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas e muito úteis na prova):
- Linearidade (soma): a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Isso vem diretamente da definição e da propriedade de limite de soma de funções. Intuitivamente: a taxa de variação total é a soma das taxas de variação das parcelas.
- Constante multiplicando: se
com constante, então
Novamente, isso sai da propriedade de fator constante em limites.
Vamos aplicar essas regras a
: podemos derivar
e
separadamente e somar os resultados.
Passo 4
Derivada da parte linear
.
Use a definição ou a regra direta: para qualquer constante ,
Use a definição ou a regra direta: para qualquer constante
Prova rápida pela definição: para
,
Portanto a derivada de
é
.
Passo 5
Derivada da parte trigonométrica
.
Pela regra do fator constante a derivada é
Pela regra do fator constante a derivada é
Então precisamos do valor de
.
Resultado padrão (que usamos frequentemente):
Se quiser ver um esboço da demonstração rápida: use a identidade trigonométrica
então
Note que
e sabemos o limite fundamental
Assim, ao tomar
obtemos
Portanto
, e pela constante multiplicativa:
Passo 6
Agora somamos as derivadas das duas parcelas (regra da soma):
Simplificando:
Passo 7
Pequena checagem num ponto (útil para ganhar confiança): em
,
o que faz sentido: perto de
a parte
varia lentamente, então a inclinação é próxima de
.