Decida se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes.
(1,2,-3,1),(3,7,1,-2),(1,3,7,-4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa decidir se os vetores dados são linearmente dependentes ou independentes. Estamos trabalhando com álgebra linear, e para isso, vamos precisar entender o conceito de combinação linear e como verificar a independência ou dependência dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente ou dependente. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se implica que .
Se existir uma combinação não trivial (onde pelo menos um coeficiente não é zero) que resulta no vetor zero, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos escrever os vetores dados:
v1 = (1, 2, -3, 1), v2 = (3, 7, 1, -2), v3 = (1, 3, 7, -4)
Queremos descobrir se existe uma combinação que não seja a trivial.

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações correspondente à combinação linear igual a zero:
1c1 + 3c2 + 1c3 = 0 2c1 + 7c2 + 3c3 = 0 -3c1 + 1c2 + 7c3 = 0 1c1 - 2c2 - 4c3 = 0
Agora, vamos resolver esse sistema para ver se existem soluções além de .

Passo 5

Vamos representar o sistema na forma de uma matriz aumentada e usar o método de eliminação de Gauss para simplificar:
1 & 3 & 1 & | & 0 2 & 7 & 3 & | & 0 -3 & 1 & 7 & | & 0 1 & -2 & -4 & | & 0
Vamos realizar operações de linha para triangular a matriz.

Passo 6

Primeiro, vamos eliminar o 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 10 & 10 & | & 0 0 & -5 & -5 & | & 0 das linhas 2, 3 e 4 usando a linha 1.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando as operações:

Passo 7

Agora, vamos eliminar o 1 & 3 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & | & 0 das linhas 3 e 4 usando a linha 2.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Aplicando as operações:

Passo 8

Observamos que as duas últimas linhas ficaram todas zero. Isso significa que temos variáveis livres, indicando que existem infinitas soluções para o sistema, além da trivial única.

Resposta

Os vetores dados são linearmente dependentes.

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