Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
a) Se
, então
;
b) Se
, então
;
c) Se
, então
;
d) Se
, então
;
e) Se
, então
.
a) Se
b) Se
c) Se
d) Se
e) Se
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais afirmações precisamos decidir se são verdadeiras ou falsas. O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores
e pede para decidir verdadeiro ou falso para cada uma:
a) Se
, então
.
b) Se
, então
.
c) Se
, então
.
d) Se
, então
.
e) Se
, então
.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
são vetores (em geral em
). Os símbolos significam:
-
é o comprimento (norma) do vetor . -
significa que é paralelo a (ou seja, colineares; um é múltiplo escalar do outro).
Passo 2
Explicar claramente os conceitos básicos que vou usar (sem assumir que você já sabe):
Definição de igualdade de vetores:
-
significa que todos os componentes são iguais; geometricamente, os vetores têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Em outras palavras, são exatamente o mesmo vetor.
Definição de norma (comprimento):
-
é o comprimento de . Por exemplo, se em , então . Em geral é sempre não negativo.
Definição de paralelismo:
-
significa que existe um escalar tal que . Se têm mesmo sentido; se têm sentidos opostos; se então (o zero é paralelo a todo vetor por convenção).
Leis úteis que vou usar depois:
- Se
então . - Desigualdade triangular (importante para (e)):
; a igualdade ocorre exatamente quando e têm a mesma direção (são codirecionais), isto é, quando existe com ou .
Passo 3
Afirmativa a): “Se
, então
.”
Razão passo a passo:
- Se
então todos os componentes de são iguais aos componentes de . - A norma
é determinada somente pelos componentes do vetor (por exemplo ). - Logo, se os componentes são mesmos, os quadrados somados e a raiz são iguais, portanto
.
Comentário didático: igualdade de vetores é uma relação mais forte do que igualdade de comprimentos; toda igualdade de vetores implica igualdade de comprimentos. Portanto a afirmação a) é verdadeira.
Passo 4
Afirmativa b): “Se
, então
.”
Razão passo a passo:
- Ter o mesmo comprimento não garante que os vetores tenham mesma direção ou mesmo sentido; apenas que têm a mesma magnitude.
- Contraexemplo simples para mostrar que é falsa: escolha
e . - Aqui
e , então . - Mas
porque (direções opostas).
- Aqui
- Portanto a afirmação b) é falsa.
Didática: pensar em um círculo centrado na origem: todos vetores com a mesma norma estão sobre a mesma circunferência; claramente há muitos vetores diferentes com a mesma distância da origem.
Passo 5
Afirmativa c): “Se
, então
.”
Razão passo a passo:
-
significa que para algum escalar . - Para ter
seria necessário que . - Mas em geral
pode ser diferente de (por exemplo ou ), então vetores paralelos não precisam ser iguais. - Contraexemplo:
e . Temos , logo mas . - Outro exemplo:
e são paralelos (sentidos opostos) mas não iguais.
Conclusão: a afirmação c) é falsa.
Passo 6
Afirmativa d): “Se
, então
.”
Razão passo a passo:
- Se
, podemos escrever . - Isso é exatamente a condição para paralelismo: existe um escalar (
) tal que é múltiplo escalar de . - Portanto
. - Intuitivamente: vetores iguais têm mesma direção e mesmo sentido, então são paralelos.
Conclusão: a afirmação d) é verdadeira.
Passo 7
Afirmativa e): “Se
, então
.”
Razão passo a passo:
- A expressão
é uma igualdade forte; existe a desigualdade geral conhecida como desigualdade triangular: Isso significa que o comprimento da soma nunca excede a soma dos comprimentos, mas pode ser estritamente menor. - A igualdade só ocorre em casos especiais: ocorre exatamente quando
e são codirecionais e apontam no mesmo sentido, isto é, existe tal que (ou simetricamente com ). Em palavras: quando os vetores estão alinhados e não se “opõem”. - Contraexemplo simples para mostrar que a afirmação geral é falsa: escolha vetores perpendiculares, por exemplo
e . - Então
. - Calculando normas:
- Temos
. Logo a igualdade não vale nesse caso.
- Então
- Se quiser uma demonstração rápida da desigualdade triangular usando produto escalar (opcional mas didático):
onde usei que (desigualdade de Cauchy–Schwarz). Tomando raiz positiva em ambos os lados obtém-se a desigualdade triangular. A igualdade ocorre quando e são múltiplos positivos um do outro.
Conclusão: a afirmação e) é falsa em geral; só é verdadeira em casos especiais (quando
e
têm o mesmo sentido).
Resposta
a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa