Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
a) Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|;
b) Se |\vec{u}|=|\vec{v}|, então \vec{u}=\vec{v};
c) Se \vec{u} \| \vec{v}, então \vec{u}=\vec{v};
d) Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u} \| \vec{v};
e) Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais afirmações precisamos decidir se são verdadeiras ou falsas. O enunciado apresenta cinco afirmações sobre vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w} e pede para decidir verdadeiro ou falso para cada uma:
a) Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|.
b) Se |\vec{u}|=|\vec{v}|, então \vec{u}=\vec{v}.
c) Se \vec{u}\parallel \vec{v}, então \vec{u}=\vec{v}.
d) Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u}\parallel \vec{v}.
e) Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas): \vec{u},\vec{v},\vec{w} são vetores (em geral em \mathbb{R}^n). Os símbolos significam:
  • |\vec{x}| é o comprimento (norma) do vetor \vec{x}.
  • \vec{u}\parallel\vec{v} significa que \vec{u} é paralelo a \vec{v} (ou seja, colineares; um é múltiplo escalar do outro).

Passo 2

Explicar claramente os conceitos básicos que vou usar (sem assumir que você já sabe):
Definição de igualdade de vetores:
  • \vec{u}=\vec{v} significa que todos os componentes são iguais; geometricamente, os vetores têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Em outras palavras, são exatamente o mesmo vetor.
Definição de norma (comprimento):
  • |\vec{u}| é o comprimento de \vec{u}. Por exemplo, se \vec{u}=(u_1,u_2) em \mathbb{R}^2, então |\vec{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}. Em geral |\vec{u}| é sempre não negativo.
Definição de paralelismo:
  • \vec{u}\parallel\vec{v} significa que existe um escalar \lambda tal que \vec{u}=\lambda\vec{v}. Se \lambda>0 têm mesmo sentido; se \lambda<0 têm sentidos opostos; se \lambda=0 então \vec{u}=\vec{0} (o zero é paralelo a todo vetor por convenção).
Leis úteis que vou usar depois:
  • Se \vec{u}=\lambda\vec{v} então |\vec{u}|=|\lambda|\,|\vec{v}|.
  • Desigualdade triangular (importante para (e)): |\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}|; a igualdade ocorre exatamente quando \vec{u} e \vec{v} têm a mesma direção (são codirecionais), isto é, quando existe \lambda\ge0 com \vec{u}=\lambda\vec{v} ou \vec{v}=\lambda\vec{u}.

Passo 3

Afirmativa a): “Se \vec{u}=\vec{v}, então |\vec{u}|=|\vec{v}|.”
Razão passo a passo:
  • Se \vec{u}=\vec{v} então todos os componentes de \vec{u} são iguais aos componentes de \vec{v}.
  • A norma |\vec{x}| é determinada somente pelos componentes do vetor (por exemplo |\vec{x}|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}).
  • Logo, se os componentes são mesmos, os quadrados somados e a raiz são iguais, portanto |\vec{u}|=|\vec{v}|.
Comentário didático: igualdade de vetores é uma relação mais forte do que igualdade de comprimentos; toda igualdade de vetores implica igualdade de comprimentos. Portanto a afirmação a) é verdadeira.

Passo 4

Afirmativa b): “Se |\vec{u}|=|\vec{v}|, então \vec{u}=\vec{v}.”
Razão passo a passo:
  • Ter o mesmo comprimento não garante que os vetores tenham mesma direção ou mesmo sentido; apenas que têm a mesma magnitude.
  • Contraexemplo simples para mostrar que é falsa: escolha \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(-1,0).
    • Aqui |\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=1 e |\vec{v}|=\sqrt{(-1)^2+0^2}=1, então |\vec{u}|=|\vec{v}|.
    • Mas \vec{u}\neq\vec{v} porque (1,0)\neq(-1,0) (direções opostas).
  • Portanto a afirmação b) é falsa.
Didática: pensar em um círculo centrado na origem: todos vetores com a mesma norma estão sobre a mesma circunferência; claramente há muitos vetores diferentes com a mesma distância da origem.

Passo 5

Afirmativa c): “Se \vec{u}\parallel \vec{v}, então \vec{u}=\vec{v}.”
Razão passo a passo:
  • \vec{u}\parallel\vec{v} significa que \vec{u}=\lambda\vec{v} para algum escalar \lambda.
  • Para ter \vec{u}=\vec{v} seria necessário que \lambda=1.
  • Mas em geral \lambda pode ser diferente de 1 (por exemplo \lambda=2 ou \lambda=-1), então vetores paralelos não precisam ser iguais.
  • Contraexemplo: \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(2,0). Temos \vec{u}=\tfrac{1}{2}\vec{v}, logo \vec{u}\parallel\vec{v} mas \vec{u}\neq\vec{v}.
  • Outro exemplo: \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(-1,0) são paralelos (sentidos opostos) mas não iguais.
Conclusão: a afirmação c) é falsa.

Passo 6

Afirmativa d): “Se \vec{u}=\vec{v}, então \vec{u}\parallel \vec{v}.”
Razão passo a passo:
  • Se \vec{u}=\vec{v}, podemos escrever \vec{u}=1\cdot\vec{v}.
  • Isso é exatamente a condição para paralelismo: existe um escalar ( 1) tal que \vec{u} é múltiplo escalar de \vec{v}.
  • Portanto \vec{u}\parallel\vec{v}.
  • Intuitivamente: vetores iguais têm mesma direção e mesmo sentido, então são paralelos.
Conclusão: a afirmação d) é verdadeira.

Passo 7

Afirmativa e): “Se \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}, então |\vec{w}|=|\vec{u}|+|\vec{v}|.”
Razão passo a passo:
  • A expressão |\vec{u}+\vec{v}|=|\vec{u}|+|\vec{v}| é uma igualdade forte; existe a desigualdade geral conhecida como desigualdade triangular: |\vec{u}+\vec{v}|\le |\vec{u}|+|\vec{v}|.Isso significa que o comprimento da soma nunca excede a soma dos comprimentos, mas pode ser estritamente menor.
  • A igualdade só ocorre em casos especiais: ocorre exatamente quando \vec{u} e \vec{v} são codirecionais e apontam no mesmo sentido, isto é, existe \lambda\ge0 tal que \vec{u}=\lambda\vec{v} (ou simetricamente \vec{v}=\mu\vec{u} com \mu\ge0). Em palavras: quando os vetores estão alinhados e não se “opõem”.
  • Contraexemplo simples para mostrar que a afirmação geral é falsa: escolha vetores perpendiculares, por exemplo \vec{u}=(1,0) e \vec{v}=(0,1).
    • Então \vec{w}=\vec{u}+\vec{v}=(1,1).
    • Calculando normas: |\vec{u}|=\sqrt{1^2+0^2}=1,\qquad |\vec{v}|=1,\qquad |\vec{w}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
    • Temos |\vec{w}|=\sqrt{2}<2=|\vec{u}|+|\vec{v}|. Logo a igualdade não vale nesse caso.
  • Se quiser uma demonstração rápida da desigualdade triangular usando produto escalar (opcional mas didático): |\vec{u}+\vec{v}|^2 = (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2 \le |\vec{u}|^2+2|\vec{u}||\vec{v}|+|\vec{v}|^2=(|\vec{u}|+|\vec{v}|)^2,onde usei que \vec{u}\cdot\vec{v}\le|\vec{u}||\vec{v}| (desigualdade de Cauchy–Schwarz). Tomando raiz positiva em ambos os lados obtém-se a desigualdade triangular. A igualdade ocorre quando \vec{u} e \vec{v} são múltiplos positivos um do outro.
Conclusão: a afirmação e) é falsa em geral; só é verdadeira em casos especiais (quando \vec{u} e \vec{v} têm o mesmo sentido).

Resposta

a) Verdadeira
b) Falsa
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Falsa

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