Seja P um triangulo com vértices A=(0,1,0) \quad B=(2,-1,3) \quad C=(1,4,2).
c) Seja R um ponto que divide a mediana AK pela metade, ou seja A R=R K, e L um ponto de intersecção as retas BR e AC. Encontre AL/LC.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo P:
A=(0,1,0),\qquad B=(2,-1,3),\qquad C=(1,4,2).
As definições que precisamos usar são:
  • K é o ponto médio de BC (porque AK é a mediana);
  • R é o ponto que divide o segmento AK pela metade, isto é, A R = R K (ou seja, R é o ponto médio de A e K);
  • L é a interseção das retas BR e AC.
    O objetivo pedido é encontrar a razão \displaystyle \frac{AL}{LC}.

Passo 2

Calcular o ponto médio K de B e C. A fórmula do ponto médio entre dois pontos X=(x_1,y_1,z_1) e Y=(x_2,y_2,z_2) é
\left(\frac{x_1+x_2}{2},\;\frac{y_1+y_2}{2},\;\frac{z_1+z_2}{2}\right).
Aplicando a B e C:
K=\left(\frac{2+1}{2},\;\frac{-1+4}{2},\;\frac{3+2}{2}\right) =\left(\frac{3}{2},\;\frac{3}{2},\;\frac{5}{2}\right).

Passo 3

Como R divide AK pela metade, R é o ponto médio de A e K. Usando a mesma fórmula:
R=\left(\frac{0+\tfrac{3}{2}}{2},\;\frac{1+\tfrac{3}{2}}{2},\;\frac{0+\tfrac{5}{2}}{2}\right) =\left(\frac{3}{4},\;\frac{5}{4},\;\frac{5}{4}\right).

Passo 4

Escrever a equação paramétrica da reta AC. Um ponto genérico em AC pode ser escrito como
A + t(C-A),\qquad t\in\mathbb{R},
onde t=0 A e t=1 C. Calculando C-A:
C-A=(1,4,2)-(0,1,0)=(1,3,2).
Portanto, um ponto em AC é
\bigl(t,\;1+3t,\;2t\bigr).

Passo 5

Escrever a equação paramétrica da reta BR. Um ponto genérico em BR é
B + s(R-B),\qquad s\in\mathbb{R}.
Calcular R-B:
R-B=\left(\frac{3}{4}-2,\;\frac{5}{4}-(-1),\;\frac{5}{4}-3\right) =\left(-\frac{5}{4},\;\frac{9}{4},\;-\frac{7}{4}\right).
Logo um ponto em BR é
\left(2 - \frac{5}{4}s,\; -1 + \frac{9}{4}s,\; 3 - \frac{7}{4}s\right).

Passo 6

O ponto L\) é a interseção de \(AC\) e \(BR\), logo existe \(t\) e \(s\) tais que \[\begin{cases} t = 2 - \dfrac{5}{4}s,\\[6pt] 1+3t = -1 + \dfrac{9}{4}s,\\[6pt] 2t = 3 - \dfrac{7}{4}s. \end{cases}
Vamos resolver usando as duas primeiras equações. Substituindo t\] da primeira na segunda: \[1+3\Bigl(2 - \frac{5}{4}s\Bigr) = -1 + \frac{9}{4}s.\] Calcule o lado esquerdo: \[1 + 6 - \frac{15}{4}s = 7 - \frac{15}{4}s.\] Assim \[7 - \frac{15}{4}s = -1 + \frac{9}{4}s.\] Passando termos em \(s para o lado direito e constantes para o esquerdo:
7 + 1 = \frac{9}{4}s + \frac{15}{4}s \quad\Rightarrow\quad 8 = \frac{24}{4}s = 6s.
Portanto
s = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.
Agora obter t pela primeira equação:
t = 2 - \frac{5}{4}\cdot\frac{4}{3} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6-5}{3} = \frac{1}{3}.
(A terceira equação serve de verificação; ela também se satisfaz com esses valores.)]

Passo 7

Interpretar o parâmetro t na reta AC. Na parametrização A + t(C-A), o parâmetro t representa a fração do caminho de A até C: quando t=0 estamos em A, quando t=1 em C. Logo o comprimento orientado AL corresponde a t vezes o segmento AC, e LC corresponde a (1-t) vezes AC. Assim a razão pedida é
\frac{AL}{LC}=\frac{t}{1-t}.
Substituindo t=\dfrac{1}{3}:
\frac{AL}{LC}=\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}}=\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados