Seja
um triangulo com vértices
.
c) Seja R um ponto que divide a mediana AK pela metade, ou seja
, e
um ponto de intersecção as retas BR e AC. Encontre AL/LC.
c) Seja R um ponto que divide a mediana AK pela metade, ou seja
Passo 1
O enunciado dá as coordenadas dos vértices do triângulo
:
As definições que precisamos usar são:
-
é o ponto médio de (porque é a mediana); -
é o ponto que divide o segmento pela metade, isto é, (ou seja, é o ponto médio de e ); -
é a interseção das retas e .
O objetivo pedido é encontrar a razão.
Passo 2
Calcular o ponto médio
de
e
. A fórmula do ponto médio entre dois pontos
e
é
Aplicando a
e
:
Passo 3
Como
divide
pela metade,
é o ponto médio de
e
. Usando a mesma fórmula:
Passo 4
Escrever a equação paramétrica da reta
. Um ponto genérico em
pode ser escrito como
onde
dá
e
dá
. Calculando
:
Portanto, um ponto em
é
Passo 5
Escrever a equação paramétrica da reta
. Um ponto genérico em
é
Calcular
:
Logo um ponto em
é
Passo 6
O ponto
Vamos resolver usando as duas primeiras equações. Substituindo
para o lado direito e constantes para o esquerdo:
Portanto
Agora obter
pela primeira equação:
(A terceira equação serve de verificação; ela também se satisfaz com esses valores.)]
Passo 7
Interpretar o parâmetro
na reta
. Na parametrização
, o parâmetro
representa a fração do caminho de
até
: quando
estamos em
, quando
em
. Logo o comprimento orientado
corresponde a
vezes o segmento
, e
corresponde a
vezes
. Assim a razão pedida é
Substituindo
: