Entre as decisões que um desenhador deve tomar, existe aquela relativa ao lugar de falha que se aplica ao material e seu carregamento estático. Um aço 1020 laminado a quente possui as seguintes propriedades:
e deformação verdadeira na fratura
. Trace o lugar de falha e, para os estados de tensão estáticos nas localidades críticas incluídas a seguir, desenhe a linha de carga e calcule analítica e graficamente o fator de segurança.
, horário.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais:
- Traçar o lugar de falha aplicável ao material (aço 1020 laminado a quente com
) — isto é, desenhar as curvas/linhas de falha relevantes no plano das tensões principais e a linha de carga do estado de tensão dado. - Para o estado de tensões estáticas dado:
,
desenhar a linha de carga (graficamente) e calcular o fator de segurança analítica e graficamente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- Limite de escoamento:
. - Resistência à tração última:
. - Deformação verdadeira na fratura:
(informação fornecida, vou explicar quando ela é ou não necessária). - Estado de tensões plano:
.
O que vou entregar:
- Explicação didática de quais critérios de falha usar (e por quê), com as fórmulas.
- Cálculo passo a passo das tensões principais, do equivalente de von Mises, fatores de segurança analíticos (para escoamento e para ruptura) e interpretação de qual controla.
- Indicação explícita de como desenhar o lugar de falha (equação do contorno de escoamento von Mises e linha de ruptura de máxima tensão normal) e como desenhar a linha de carga para o estado dado, além de explicar como obter graficamente o fator de segurança a partir desse desenho.
- Observação sobre a
e por que aqui ela não foi necessária para o cálculo do FS estático.
Passo 2
Breve aula sobre critérios de falha que vamos usar (com motivação simples e sem jargões):
- Em materiais dúcteis como o aço 1020 normalmente a primeira preocupação é o escoamento plástico. O critério mais usado para previsão de escoamento é o critério de von Mises (também chamado de energia de distorção). Ele define uma superfície no espaço das tensões principais; se o estado de tensões estiver dentro dessa superfície, o material está elástico; ao tocar a superfície começa o escoamento.
- A expressão de von Mises no caso de tensões plano (com
) fornece uma tensão equivalente que compara com . A fórmula prática que vamos usar é: Se temos escoamento. O fator de segurança por escoamento é . - Para ruptura no estado estático (se quisermos comparar com resistência última) muitas vezes se usa a máxima tensão principal (critério de Rankine / máxima tensão normal) como aproximação conservadora para ruptura frágil ou para limites de projeto estático: se a maior tensão principal
atingir ocorre ruptura. Assim um fator de segurança contra ruptura pode ser tomado como . - A deformação verdadeira na fratura
é útil para critérios de fratura dúctil que relacionam strain de ruptura à triaxialidade de tensões (modelos de ductile fracture). Porém, para um problema de resistência estática linear-elástico como este, o primeiro passo é comparar com escoamento (von Mises) e, secundariamente, com . Portanto aqui não é necessária para os cálculos pedidos; porém é um dado que pode ser usado em estudos mais avançados de fratura multiaxial (apenas anotar isso para não esquecer).
Passo 3
Calcular as tensões principais do estado de tensões dado — isso também me ajuda a desenhar a linha de carga (em coordenadas de tensões principais).
Fórmulas para tensões principais em plano:
Fórmulas para tensões principais em plano:
Agora aplico números (sempre em
):
Calcule
:
Calcule
e seu quadrado:
Calcule
:
Calcule
:
Então as tensões principais são:
Comentário didático: percebe que
e
ficam muito próximas de
e
porque a componente de cisalhamento é pequena; isso é comum em problemas de plano onde tau é baixo.
Passo 4
Calcular a tensão equivalente de von Mises
(fórmula direta para o estado plano) e o fator de segurança contra escoamento.
Recordando a fórmula que já citei:
Recordando a fórmula que já citei:
Substituindo números:
Somando os termos:
Agora o fator de segurança por escoamento (von Mises):
Interpretação: com esse estado de tensões, o fator de segurança até início de escoamento é aproximadamente
, ou seja, teria de multiplicar as tensões por aproximadamente
para atingir o escoamento.
Passo 5
Calcular o fator de segurança em relação à ruptura por máxima tensão principal (critério de tentativa/ruptura estático) — usamos
e
:
Comentário: este é um critério simples e conservador para ruptura estática; dá
, maior que
. Assim, o escoamento é o mecanismo limitante (controle pelo menor FS).
Passo 6
Como desenhar graficamente (passo a passo para você conseguir reproduzir na prova — eu descrevo para você traçar):
- Plano a desenhar: eixo horizontal
e vertical (tensões principais). Alternativamente muitos desenham no eixo horizontal e no vertical; tanto faz mas mantenha coerência. - Lugar de falha (escolhas a mostrar):
- Curva de escoamento von Mises: no plano
a condição de escoamento é Essa equação representa uma elipse centrada na origem (rotacionada em relação aos eixos, mas intercepta os eixos nos pontos e ). Desenhe essa elipse com raio equivalente tal que quando obtemos . - Linha de ruptura por máxima tensão (Rankine): desenhe a linha vertical
(e, se quiser, a linha horizontal para o caso simétrico). Essa linha representa o limite em que a maior tensão principal atinge a resistência última.
- Curva de escoamento von Mises: no plano
- Linha de carga do estado dado: a linha de carga passa pela origem e pelo ponto
. Desenhe o vetor (ou segmento) desde a origem até esse ponto — essa é sua linha de carga (direção fixa). Para obter graficamente o FS, escale esse vetor homotecamente a partir da origem até tocar a elipse de von Mises; o fator de escala é exatamente . Analogamente, o ponto onde a linha de carga intercepta a linha dá o fator de segurança contra ruptura (escala para atingir ).
Como obter graficamente FS (procedimento prático na prova sem cálculo complicado):
- Desenhe com escala simples (ex.: 1 cm = 10 MPa).
- Marque o ponto correspondente
. - Trace a elipse de von Mises (ou pelo menos a interseção da diretriz com a conhecida interceptação em
e ). - A razão entre a distância da origem até o ponto de interseção com a elipse e a distância da origem até o ponto atual é
. Isso é idêntico ao cálculo analítico que fizemos; graficamente, obtém-se aproximadamente o mesmo valor (pequeno erro devido a escala/dinâmica do desenho).
Passo 7
Observações finais e comentário motivador:
- O resultado mostra que o material tem um bom estacionamento de segurança para esse estado de tensões:
(escoamento) e (ruptura por máxima tensão). O menor dos dois (escoamento) controla a segurança. - A
não foi necessária para comparar com escoamento estático — ela serve para análises de fratura dúctil quando se modela a evolução plástica até ruptura (usando critérios que dependem de triaxialidade); isso é mais avançado. - Dica para a prova: calcule sempre as tensões principais primeiro — daí fica muito simples aplicar qualquer critério (von Mises, Rankine, Tresca). Para von Mises em plano stress, ou use a fórmula direta para
em termos de ou calcule usando com (mesmo resultado).
Resposta
Fator de segurança que controla: