Entre as decisões que um desenhador deve tomar, existe aquela relativa ao lugar de falha que se aplica ao material e seu carregamento estático. Um aço 1020 laminado a quente possui as seguintes propriedades: S_{y}=294 \mathrm{MPa}, S_{u t}=463 \mathrm{MPa} e deformação verdadeira na fratura \varepsilon_{f}=0,90. Trace o lugar de falha e, para os estados de tensão estáticos nas localidades críticas incluídas a seguir, desenhe a linha de carga e calcule analítica e graficamente o fator de segurança.
\sigma_{x}=77 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=28 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=7 \mathrm{MPa}, horário.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais:
  • Traçar o lugar de falha aplicável ao material (aço 1020 laminado a quente com \,S_{y}=294\\ \mathrm{MPa},\\ S_{ut}=463\\ \mathrm{MPa},\\ \varepsilon_{f}=0,90\,) — isto é, desenhar as curvas/linhas de falha relevantes no plano das tensões principais e a linha de carga do estado de tensão dado.
  • Para o estado de tensões estáticas dado:
    \sigma_{x}=77\\ \mathrm{MPa},\quad \sigma_{y}=28\\ \mathrm{MPa},\quad \tau_{xy}=7\\ \mathrm{MPa},
    desenhar a linha de carga (graficamente) e calcular o fator de segurança analítica e graficamente.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • Limite de escoamento: \,S_{y}=294\\ \mathrm{MPa}.
  • Resistência à tração última: \,S_{ut}=463\\ \mathrm{MPa}.
  • Deformação verdadeira na fratura: \,\varepsilon_{f}=0{,}90 (informação fornecida, vou explicar quando ela é ou não necessária).
  • Estado de tensões plano: \sigma_x=77\\ \mathrm{MPa},\\ \sigma_y=28\\ \mathrm{MPa},\\ \tau_{xy}=7\\ \mathrm{MPa}.
O que vou entregar:
  • Explicação didática de quais critérios de falha usar (e por quê), com as fórmulas.
  • Cálculo passo a passo das tensões principais, do equivalente de von Mises, fatores de segurança analíticos (para escoamento e para ruptura) e interpretação de qual controla.
  • Indicação explícita de como desenhar o lugar de falha (equação do contorno de escoamento von Mises e linha de ruptura de máxima tensão normal) e como desenhar a linha de carga para o estado dado, além de explicar como obter graficamente o fator de segurança a partir desse desenho.
  • Observação sobre a \varepsilon_f e por que aqui ela não foi necessária para o cálculo do FS estático.

Passo 2

Breve aula sobre critérios de falha que vamos usar (com motivação simples e sem jargões):
  • Em materiais dúcteis como o aço 1020 normalmente a primeira preocupação é o escoamento plástico. O critério mais usado para previsão de escoamento é o critério de von Mises (também chamado de energia de distorção). Ele define uma superfície no espaço das tensões principais; se o estado de tensões estiver dentro dessa superfície, o material está elástico; ao tocar a superfície começa o escoamento.
  • A expressão de von Mises no caso de tensões plano (com \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy}) fornece uma tensão equivalente \sigma_{eq} que compara com \,S_{y}. A fórmula prática que vamos usar é: \sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}.Se \sigma_{eq}=S_{y} temos escoamento. O fator de segurança por escoamento é \mathrm{FS}_{y}=\dfrac{S_{y}}{\sigma_{eq}}.
  • Para ruptura no estado estático (se quisermos comparar com resistência última) muitas vezes se usa a máxima tensão principal (critério de Rankine / máxima tensão normal) como aproximação conservadora para ruptura frágil ou para limites de projeto estático: se a maior tensão principal \sigma_1 atingir \,S_{ut} ocorre ruptura. Assim um fator de segurança contra ruptura pode ser tomado como \mathrm{FS}_{u}=\dfrac{S_{ut}}{\sigma_1}.
  • A deformação verdadeira na fratura \varepsilon_f é útil para critérios de fratura dúctil que relacionam strain de ruptura à triaxialidade de tensões (modelos de ductile fracture). Porém, para um problema de resistência estática linear-elástico como este, o primeiro passo é comparar com escoamento (von Mises) e, secundariamente, com \,S_{ut}. Portanto aqui \varepsilon_f não é necessária para os cálculos pedidos; porém é um dado que pode ser usado em estudos mais avançados de fratura multiaxial (apenas anotar isso para não esquecer).

Passo 3

Calcular as tensões principais do estado de tensões dado — isso também me ajuda a desenhar a linha de carga (em coordenadas de tensões principais).
Fórmulas para tensões principais em plano:
\sigma_{\text{avg}}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, \qquad R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2},
\sigma_{1}=\sigma_{\text{avg}}+R,\qquad \sigma_{2}=\sigma_{\text{avg}}-R.
Agora aplico números (sempre em \mathrm{MPa}):
Calcule \sigma_{\text{avg}}:
\sigma_{\text{avg}}=\frac{77+28}{2}=\frac{105}{2}=52{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Calcule \dfrac{\sigma_x-\sigma_y}{2} e seu quadrado:
\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}=\frac{77-28}{2}=\frac{49}{2}=24{,}5\\ \mathrm{MPa},
\left(24{,}5\right)^2=600{,}25\\ (\mathrm{MPa}^2).
Calcule \tau_{xy}^2:
\tau_{xy}^2=7^2=49\\ (\mathrm{MPa}^2).
Calcule R:
R=\sqrt{600{,}25+49}=\sqrt{649{,}25}=25{,}485\\ \mathrm{MPa}\\ (\text{aprox.}).
Então as tensões principais são:
\sigma_1=52{,}5+25{,}485=77{,}985\\ \mathrm{MPa}\approx77{,}99\\ \mathrm{MPa},
\sigma_2=52{,}5-25{,}485=27{,}015\\ \mathrm{MPa}\approx27{,}02\\ \mathrm{MPa}.
Comentário didático: percebe que \sigma_1 e \sigma_2 ficam muito próximas de \sigma_x e \sigma_y porque a componente de cisalhamento é pequena; isso é comum em problemas de plano onde tau é baixo.

Passo 4

Calcular a tensão equivalente de von Mises \sigma_{eq} (fórmula direta para o estado plano) e o fator de segurança contra escoamento.
Recordando a fórmula que já citei:
\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}.
Substituindo números:
\sigma_x^2=77^2=5929,\quad \sigma_y^2=28^2=784,\quad \sigma_x\sigma_y=77\cdot28=2156,
3\tau_{xy}^2=3\cdot7^2=3\cdot49=147.
Somando os termos:
\sigma_{eq}=\sqrt{5929-2156+784+147}=\sqrt{3704} \approx 60{,}88\\ \mathrm{MPa}.
Agora o fator de segurança por escoamento (von Mises):
\mathrm{FS}_{y}=\frac{S_{y}}{\sigma_{eq}}=\frac{294}{60{,}88}\approx4{,}83.
Interpretação: com esse estado de tensões, o fator de segurança até início de escoamento é aproximadamente \,4{,}83, ou seja, teria de multiplicar as tensões por aproximadamente 4{,}83 para atingir o escoamento.

Passo 5

Calcular o fator de segurança em relação à ruptura por máxima tensão principal (critério de tentativa/ruptura estático) — usamos \sigma_1 e \,S_{ut}:
\mathrm{FS}_{u}=\frac{S_{ut}}{\sigma_1}=\frac{463}{77{,}985}\approx5{,}94.
Comentário: este é um critério simples e conservador para ruptura estática; dá \mathrm{FS}_{u}\approx5{,}94, maior que \mathrm{FS}_{y}. Assim, o escoamento é o mecanismo limitante (controle pelo menor FS).

Passo 6

Como desenhar graficamente (passo a passo para você conseguir reproduzir na prova — eu descrevo para você traçar):
  1. Plano a desenhar: eixo horizontal \sigma_1 e vertical \sigma_2 (tensões principais). Alternativamente muitos desenham \sigma_1 no eixo horizontal e \sigma_2 no vertical; tanto faz mas mantenha coerência.
  2. Lugar de falha (escolhas a mostrar):
    • Curva de escoamento von Mises: no plano (\sigma_1,\sigma_2) a condição de escoamento é \sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2=S_{y}^2.Essa equação representa uma elipse centrada na origem (rotacionada em relação aos eixos, mas intercepta os eixos nos pontos \sigma_1=\pm S_{y} e \sigma_2=\pm S_{y}). Desenhe essa elipse com raio equivalente tal que quando \sigma_2=0 obtemos \sigma_1=\pm S_y.
    • Linha de ruptura por máxima tensão (Rankine): desenhe a linha vertical \sigma_1=S_{ut} (e, se quiser, a linha horizontal \sigma_2=S_{ut} para o caso simétrico). Essa linha representa o limite em que a maior tensão principal atinge a resistência última.
  3. Linha de carga do estado dado: a linha de carga passa pela origem e pelo ponto (\sigma_1,\sigma_2)=(77{,}985,\;27{,}015). Desenhe o vetor (ou segmento) desde a origem até esse ponto — essa é sua linha de carga (direção fixa). Para obter graficamente o FS, escale esse vetor homotecamente a partir da origem até tocar a elipse de von Mises; o fator de escala é exatamente \mathrm{FS}_{y}. Analogamente, o ponto onde a linha de carga intercepta a linha \sigma_1=S_{ut} dá o fator de segurança contra ruptura (escala para atingir \sigma_1=S_{ut}).
Como obter graficamente FS (procedimento prático na prova sem cálculo complicado):
  • Desenhe com escala simples (ex.: 1 cm = 10 MPa).
  • Marque o ponto correspondente (\sigma_1,\sigma_2).
  • Trace a elipse de von Mises (ou pelo menos a interseção da diretriz com a conhecida interceptação em \sigma_1=S_y e \sigma_2=S_y).
  • A razão entre a distância da origem até o ponto de interseção com a elipse e a distância da origem até o ponto atual é \mathrm{FS}_{y}. Isso é idêntico ao cálculo analítico que fizemos; graficamente, obtém-se aproximadamente o mesmo valor (pequeno erro devido a escala/dinâmica do desenho).

Passo 7

Observações finais e comentário motivador:
  • O resultado mostra que o material tem um bom estacionamento de segurança para esse estado de tensões: \mathrm{FS}_{y}\approx4{,}83 (escoamento) e \mathrm{FS}_{u}\approx5{,}94 (ruptura por máxima tensão). O menor dos dois (escoamento) controla a segurança.
  • A \varepsilon_f=0{,}90 não foi necessária para comparar com escoamento estático — ela serve para análises de fratura dúctil quando se modela a evolução plástica até ruptura (usando critérios que dependem de triaxialidade); isso é mais avançado.
  • Dica para a prova: calcule sempre as tensões principais primeiro — daí fica muito simples aplicar qualquer critério (von Mises, Rankine, Tresca). Para von Mises em plano stress, ou use a fórmula direta para \sigma_{eq} em termos de \sigma_x,\sigma_y,\tau_{xy} ou calcule usando \sigma_1,\sigma_2 com \sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_1^2-\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2} (mesmo resultado).

Resposta

\sigma_{1}=77{,}985\\ \mathrm{MPa}\approx77{,}99\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{2}=27{,}015\\ \mathrm{MPa}\approx27{,}02\\ \mathrm{MPa}
\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_x^2-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^2+3\tau_{xy}^2}\approx60{,}88\\ \mathrm{MPa}
\mathrm{FS}_{\text{escoamento (von Mises)}}=\dfrac{S_{y}}{\sigma_{eq}}\approx\dfrac{294}{60{,}88}\approx4{,}83
\mathrm{FS}_{\text{ruptura (máx. tensão)}}=\dfrac{S_{ut}}{\sigma_{1}}\approx\dfrac{463}{77{,}985}\approx5{,}94áã
Fator de segurança que controla: \boxed{\mathrm{FS}=4{,}83} (escoamento).

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