Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
- Resistência ao escoamento mínima do material (limite de escoamento):
. - Estado de tensão plana com componentes:
-
- O que se pede: calcular os fatores de segurança usando
- a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca);
- a teoria da energia de distorção (von Mises).
Passo 2
Primeiro é útil obter as tensões principais
e
do estado de tensão plana, porque ambas as teorias usam estas grandezas (ou diferenças entre elas). A fórmula para as tensões principais em tensão plana é:
Calculemos passo a passo os termos numéricos:
- média:
- semi-diferença:
- termo dentro da raiz:
- raiz:
Passo 3
Agora as tensões principais são:
Observação: em tensão plana existe também
(direção fora do plano).
Passo 4
Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) — explicação didática:
- A ideia do critério de Tresca é que o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento no corpo alcança a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ensaio de tração simples no escoamento.
- Em termos das tensões principais
, a máxima diferença absoluta entre pares de tensões principais determina o critério. Definimos a tensão equivalente de Tresca (usada para comparar com ) como
- Para tensão plana com
, geralmente a maior diferença é se for positiva e maior que .
Calcule as diferenças:
A maior diferença é
. Assim
Fator de segurança segundo Tresca: define-se geralmente
Substituindo:
Intuição rápida: o critério de Tresca compara a maior diferença de tensões (que gera cisalhamento máximo) com a diferença que provoca escoamento no ensaio simples.
Passo 5
Teoria da energia de distorção (von Mises) — explicação didática:
- Von Mises considera que o escoamento ocorre quando a energia de distorção acumulada atinge a mesma energia de distorção no ensaio de tração simples no escoamento. O critério resulta em uma “tensão equivalente”
que combina as três tensões principais. - A forma geral (tridimensional) é
- Para tensão plana há uma fórmula direta em termos de
:
Vamos usar esta forma porque é mais direta (é derivável da forma com
).
Calcule os termos com os valores dados:
Some:
Logo
Fator de segurança segundo von Mises:
Passo 6
Resumo e interpretação curta (amigável): ambos os fatores de segurança são razoavelmente grandes (maiores que 4), o que indica que, para esse estado de tensões, o material está bem abaixo do limite de escoamento segundo ambos os critérios. Tresca é ligeiramente mais crítico aqui (menor fator) do que von Mises — isso é comum: Tresca dá, em geral, um critério mais conservador.
Resposta
Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):
Teoria da energia de distorção (von Mises):
Teoria da energia de distorção (von Mises):