Uma barra de aço dúctil laminado a quente possui uma resistência ao escoamento mínima sob tração e compressão igual a 350 MPa . Utilizando as teorias da energia de distorção e tensão de cisalhamento máxima, determine os fatores de segurança para os seguintes estados de tensão plana:
\sigma_{x}=84 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=28 \mathrm{MPa}, \tau_{x y}=7 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (tudo pegado do enunciado):
  • Resistência ao escoamento mínima do material (limite de escoamento): \sigma_{e}=350\\ \mathrm{MPa}.
  • Estado de tensão plana com componentes:
    • \sigma_{x}=84\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{y}=28\\ \mathrm{MPa}
    • \tau_{xy}=7\\ \mathrm{MPa}
  • O que se pede: calcular os fatores de segurança usando
    1. a teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca);
    2. a teoria da energia de distorção (von Mises).

Passo 2

Primeiro é útil obter as tensões principais \sigma_{1} e \sigma_{2} do estado de tensão plana, porque ambas as teorias usam estas grandezas (ou diferenças entre elas). A fórmula para as tensões principais em tensão plana é:
\sigma_{1,2}=\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}}.
Calculemos passo a passo os termos numéricos:
  • média:
\frac{\sigma_{x}+\sigma_{y}}{2}=\frac{84+28}{2}= \frac{112}{2}=56\\ \mathrm{MPa}.
  • semi-diferença:
\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}=\frac{84-28}{2}=\frac{56}{2}=28\\ \mathrm{MPa}.
  • termo dentro da raiz:
\left(\frac{\sigma_{x}-\sigma_{y}}{2}\right)^{2}+\tau_{xy}^{2}=28^{2}+7^{2}=784+49=833\\ (\mathrm{MPa}^{2}).
  • raiz:
\sqrt{833}\approx28,861\\ \mathrm{MPa}.

Passo 3

Agora as tensões principais são:
\sigma_{1}=56+28,861\approx84,861\\ \mathrm{MPa}, \qquad \sigma_{2}=56-28,861\approx27,139\\ \mathrm{MPa}.
Observação: em tensão plana existe também \sigma_{3}=0\\ \mathrm{MPa} (direção fora do plano).

Passo 4

Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca) — explicação didática:
  • A ideia do critério de Tresca é que o material escoa quando a máxima tensão de cisalhamento no corpo alcança a máxima tensão de cisalhamento que ocorre no ensaio de tração simples no escoamento.
  • Em termos das tensões principais \sigma_{1}\ge\sigma_{2}\ge\sigma_{3}, a máxima diferença absoluta entre pares de tensões principais determina o critério. Definimos a tensão equivalente de Tresca (usada para comparar com \sigma_{e}) como
\sigma_{\text{eq,Tresca}}=\max\big(|\sigma_{1}-\sigma_{2}|,\;|\sigma_{2}-\sigma_{3}|,\;|\sigma_{3}-\sigma_{1}|\big).
  • Para tensão plana com \sigma_{3}=0, geralmente a maior diferença é \sigma_{1}-\sigma_{3}=\sigma_{1}-0=\sigma_{1} se \sigma_{1} for positiva e maior que \sigma_{1}-\sigma_{2}.
Calcule as diferenças:
\sigma_{1}-\sigma_{2}=84,861-27,139=57,722\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{2}-\sigma_{3}=27,139-0=27,139\\ \mathrm{MPa},
\sigma_{1}-\sigma_{3}=84,861-0=84,861\\ \mathrm{MPa}.
A maior diferença é 84,861\\ \mathrm{MPa}. Assim
\sigma_{\text{eq,Tresca}}=84,861\\ \mathrm{MPa}.
Fator de segurança segundo Tresca: define-se geralmente
n_{\text{Tresca}}=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{\text{eq,Tresca}}}.
Substituindo:
n_{\text{Tresca}}=\frac{350}{84,861}\approx4,124\;\Rightarrow\;n_{\text{Tresca}}\approx4,12.
Intuição rápida: o critério de Tresca compara a maior diferença de tensões (que gera cisalhamento máximo) com a diferença que provoca escoamento no ensaio simples.

Passo 5

Teoria da energia de distorção (von Mises) — explicação didática:
  • Von Mises considera que o escoamento ocorre quando a energia de distorção acumulada atinge a mesma energia de distorção no ensaio de tração simples no escoamento. O critério resulta em uma “tensão equivalente” \sigma_{\text{eq,VM}} que combina as três tensões principais.
  • A forma geral (tridimensional) é
\sigma_{\text{eq,VM}}=\sqrt{\frac{(\sigma_{1}-\sigma_{2})^{2}+(\sigma_{2}-\sigma_{3})^{2}+(\sigma_{3}-\sigma_{1})^{2}}{2}}.
  • Para tensão plana há uma fórmula direta em termos de \sigma_{x},\sigma_{y},\tau_{xy}:
\sigma_{\text{eq,VM}}=\sqrt{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}-\sigma_{x}\sigma_{y}+3\tau_{xy}^{2}}.
Vamos usar esta forma porque é mais direta (é derivável da forma com \sigma_{1,2,3}).
Calcule os termos com os valores dados:
\sigma_{x}^{2}=84^{2}=7056, \qquad \sigma_{y}^{2}=28^{2}=784, \qquad -\sigma_{x}\sigma_{y}=-(84)(28)=-2352, \qquad 3\tau_{xy}^{2}=3(7^{2})=3(49)=147.
Some:
7056+784-2352+147=5635\\ (\mathrm{MPa}^{2}).
Logo
\sigma_{\text{eq,VM}}=\sqrt{5635}\approx75,060\\ \mathrm{MPa}.
Fator de segurança segundo von Mises:
n_{\text{von\,Mises}}=\frac{\sigma_{e}}{\sigma_{\text{eq,VM}}}=\frac{350}{75,060}\approx4,663\;\Rightarrow\;n_{\text{von\,Mises}}\approx4,66.

Passo 6

Resumo e interpretação curta (amigável): ambos os fatores de segurança são razoavelmente grandes (maiores que 4), o que indica que, para esse estado de tensões, o material está bem abaixo do limite de escoamento segundo ambos os critérios. Tresca é ligeiramente mais crítico aqui (menor fator) do que von Mises — isso é comum: Tresca dá, em geral, um critério mais conservador.

Resposta

Teoria da tensão de cisalhamento máxima (Tresca): n_{\text{Tresca}}=4,12
Teoria da energia de distorção (von Mises): n_{\text{von\,Mises}}=4,66

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