Entre as decisões que um desenhador deve tomar, existe aquela relativa ao lugar de falha que se aplica ao material e seu carregamento estático. Um aço 1020 laminado a quente possui as seguintes propriedades: S_{y}=294 \mathrm{MPa}, S_{u t}=463 \mathrm{MPa} e deformação verdadeira na fratura \varepsilon_{f}=0,90. Trace o lugar de falha e, para os estados de tensão estáticos nas localidades críticas incluídas a seguir, desenhe a linha de carga e calcule analítica e graficamente o fator de segurança.
\sigma_{x}=63 \mathrm{MPa}, \sigma_{y}=-35 \mathrm{MPa}.

Passo 1

O enunciado fornece os dados do material e o estado de tensões e pede duas coisas: traçar o lugar de falha e, para o estado de tensões dado, desenhar a linha de carga e calcular o fator de segurança analítica e graficamente.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • S_{y}=294\\ \mathrm{MPa} (tensão de escoamento).
  • S_{u t}=463\\ \mathrm{MPa} (resistência à tração).
  • deformação verdadeira na fratura \varepsilon_{f}=0{,}90.
  • estado bidimensional de tensões (assume-se \sigma_{xy}=0, ou seja, \sigma_x e \sigma_y são as tensões principais no plano):
    • \sigma_{x}=63\\ \mathrm{MPa}
    • \sigma_{y}=-35\\ \mathrm{MPa}
O que é pedido:
  • Traçar o lugar de falha (locus) correspondente (vou construir o locus de escoamento pelo critério de von Mises e o locus de ruptura a partir de S_{u t}, explicando as hipóteses).
  • Para o estado (\sigma_x,\sigma_y) desenhar a linha de carga (a direção do estado de tensão no plano \sigma_x- \sigma_y) e calcular o fator de segurança:
    • analiticamente (com fórmulas);
    • graficamente (explicando como obter pelo traçado do locus).

Passo 2

Escolha do método (justificando de forma simples e prática)
  • Para a verificação de escoamento em aços dúcteis o critério mais usado é o critério de von Mises (energia de distorção). Vou adotá-lo para traçar o locus de escoamento e para calcular o fator de segurança contra escoamento.
  • Para ruptura final (última falha) um procedimento prático comum é usar a resistência última S_{u t} para construir um locus análogo (uma superfície de comparação) e obter um fator de segurança contra ruptura comparando a mesma tensão equivalente ao valor último. A deformação verdadeira na fratura \varepsilon_f será usada depois para comentar sobre ductilidade e sobre como se relaciona a tensão equivalente à deformação de fratura (informação útil para entendimento físico), mas o cálculo direto do fator de segurança costuma comparar tensões equivalentes com S_y e S_{u t}.
Obs.: essa escolha é a que melhores resultados práticos dá em projetos rápidos e em provas. Outros critérios (Tresca, critérios de fratura por deformação) existem, mas von Mises é o mais usado e suficiente aqui.

Passo 3

Fórmula do critério de von Mises em estado plano (explicação didática)
  • Em estado plano (tensões \sigma_x,\sigma_y e \sigma_{xy}=0) a tensão equivalente de von Mises é dada por:
\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}}.
  • Interpretação: \sigma_{eq} é uma medida “equivalente” de intensidade de tensões que transforma um estado biaxial em um valor único comparável com a tensão de escoamento do material. Se \sigma_{eq}=S_y então o material está no limite de escoamento.
  • O locus de escoamento no plano (\sigma_x,\sigma_y) é dado pela equação:
\sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}=S_{y}^{2},
que representa uma curva fechada (uma “elipse” rotacionada) centrada na origem. Para ruptura, em projeto simplificado, pode-se traçar uma curva análoga usando S_{ut}:
\sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}=S_{ut}^{2}.

Passo 4

Como traçar o lugar de falha e a linha de carga (guia passo a passo de construção gráfica)
  • Traçar um sistema de eixos com \sigma_x no eixo horizontal e \sigma_y no eixo vertical (unidades MPa).
  • Desenhar a curva dada por \sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}=S_{y}^{2}. Para obter pontos práticos:
    • para tensão uniaxial em x: escolha \sigma_y=0 e calcule \sigma_x=\pm S_{y};
    • para tensão uniaxial em y: escolha \sigma_x=0 e calcule \sigma_y=\pm S_{y};
    • para tração/compressão simétrica pode-se calcular outros pontos; em provas normalmente basta conhecer a forma e os pontos principais.
  • Repetir a mesma curva com raio proporcional a S_{ut} para representar a “superfície de comparação” de ruptura.
  • A linha de carga é simplesmente a reta que liga a origem ao ponto que representa o estado de tensão (\sigma_x,\sigma_y)=(63,-35). Em termos gráficos: plota-se o ponto P=(63,-35) e traça-se a reta OP.
  • O fator de segurança gráfico é o fator de escala k tal que, ao multiplicar as tensões do estado por k (ou seja, deslocar o ponto P ao longo da reta OP afastando-o da origem), o ponto escalado atinge a curva de escoamento. Graficamente mede-se a razão entre distância da origem ao ponto de contato na curva e a distância da origem ao ponto P. Analiticamente é idêntico a multiplicar as tensões por um escalar k e exigir que \sigma_{eq}(k\sigma_x,k\sigma_y)=S_y; daí k=\dfrac{S_y}{\sigma_{eq}(\sigma_x,\sigma_y)}.

Passo 5

Calcular a tensão equivalente \sigma_{eq} para o estado dado (contas passo a passo)
  • Usar a fórmula de von Mises:
\sigma_{eq}=\sqrt{\sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}}.
  • Substituindo \sigma_x=63\\ \mathrm{MPa} e \sigma_y=-35\\ \mathrm{MPa}:
\sigma_{eq}=\sqrt{63^{2}-63\cdot(-35)+(-35)^{2}}.
  • Calcule cada termo:
63^{2}=3969,\qquad -63\cdot(-35)=+2205,\qquad (-35)^{2}=1225.
  • Soma:
3969+2205+1225=7399.
  • Portanto
\sigma_{eq}=\sqrt{7399}\approx 86{,}02\\ \mathrm{MPa}.

Passo 6

Fator de segurança analítico contra escoamento (von Mises)
  • A condição para escoamento é \sigma_{eq}=S_y. Para um estado atual \sigma_{eq,act} o fator de segurança N (quanto é preciso multiplicar as tensões reais para alcançar o escoamento) é:
N=\frac{S_y}{\sigma_{eq,act}}.
  • Substituindo valores:
N=\frac{294}{86{,}02}\approx 3{,}42.
  • Interpretação física: as tensões atuais podem ser aumentadas em cerca de 3{,}42 vezes até atingir o escoamento segundo von Mises.

Passo 7

Fator de segurança gráfico contra escoamento (explicação e relação com o resultado analítico)
  • Graficamente procede-se escalando o ponto P=(63,-35) ao longo da reta OP até tocar a curva \sigma_x^{2}-\sigma_x\sigma_y+\sigma_y^{2}=S_y^{2}. O fator de escala k obtido é exatamente o mesmo número do Passo 6:
k=\frac{S_y}{\sigma_{eq}} \approx 3{,}42.
  • Conclusão: análise gráfica e analítica coincidem (na prática, no traçado com régua e compasso, haverá pequenas imprecisões).

Passo 8

Fator de segurança contra ruptura (comparando com S_{u t}) e uso da deformação verdadeira na fratura \varepsilon_f
  • Um critério prático para verificar a segurança contra ruptura é comparar a mesma tensão equivalente com S_{u t}. Assim:
N_{u}=\frac{S_{u t}}{\sigma_{eq}}=\frac{463}{86{,}02}\approx 5{,}38.
  • Interpretação: em termos de resistência última, o estado atual está longe da ruptura (poderia ser multiplicado por cerca de 5{,}38 para alcançar S_{u t}). Porém atenção: comparar com S_{u t} é um procedimento conservador/simples — a ruptura real envolve concentração de tensões, estricção e grande plastificação, por isso o \varepsilon_f é informação importante sobre ductilidade.
  • Relação com \varepsilon_f: na tração uniaxial a deformação verdadeira na fratura \varepsilon_f mede a ductilidade. Podemos transformar \varepsilon_f em uma “deformação plástica equivalente de von Mises” para referência. Para um ensaio uniaxial proporcional vale a relação (mostro como se obtém, sem pular passos):
    • Para um alongamento uniaxial plástico \varepsilon_{1p}=\varepsilon_p e \varepsilon_{2p}=\varepsilon_{3p}=-\varepsilon_p/2 (incompressibilidade plástica).
    • A deformação plástica equivalente de von Mises é
    \varepsilon_{eq}=\sqrt{\tfrac{2}{3}\!\left[(\varepsilon_{1p}-\varepsilon_{2p})^{2}+(\varepsilon_{2p}-\varepsilon_{3p})^{2}+(\varepsilon_{3p}-\varepsilon_{1p})^{2}\right]}.
    • Substituindo para uniaxial dá \varepsilon_{eq}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}\;\varepsilon_p.
    • Assim, a deformação equivalente na fratura (assumindo \varepsilon_p\approx\varepsilon_f quando a contribuição elástica é pequena) é
    \varepsilon_{eq,f}=\sqrt{\tfrac{3}{2}}\;\varepsilon_{f}\approx 1{,}2247\cdot 0{,}90\approx 1{,}102.
    • Isso significa que, em termos de deformação plástica equivalente, a peça atingiu cerca de 1{,}10 (unidades adimensionais) de deformação plástica ao fraturar no ensaio uniaxial — um número que confirma que o material é bastante dúctil.
  • Observação final: para traçar um locus de ruptura mais realista baseado em \varepsilon_f seria necessário conhecer a lei de encruamento (hardening) do material para relacionar tensões e deformações plásticas ao longo do caminho. Como isso não foi dado, o procedimento prático adotado (comparar \sigma_{eq} com S_{u t}) é aceitável e comumente usado em exercícios de prova.

Resposta

Fator de segurança contra escoamento (critério de von Mises): 3{,}42
Fator de segurança contra ruptura (comparando com S_{u t}): 5{,}38

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