Entre as decisões que um desenhador deve tomar, existe aquela relativa ao lugar de falha que se aplica ao material e seu carregamento estático. Um aço 1020 laminado a quente possui as seguintes propriedades:
e deformação verdadeira na fratura
. Trace o lugar de falha e, para os estados de tensão estáticos nas localidades críticas incluídas a seguir, desenhe a linha de carga e calcule analítica e graficamente o fator de segurança.
.
Passo 1
O enunciado fornece os dados do material e o estado de tensões e pede duas coisas: traçar o lugar de falha e, para o estado de tensões dado, desenhar a linha de carga e calcular o fator de segurança analítica e graficamente.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
-
(tensão de escoamento). -
(resistência à tração). - deformação verdadeira na fratura
. - estado bidimensional de tensões (assume-se
, ou seja, e são as tensões principais no plano): -
O que é pedido:
- Traçar o lugar de falha (locus) correspondente (vou construir o locus de escoamento pelo critério de von Mises e o locus de ruptura a partir de
, explicando as hipóteses). - Para o estado
desenhar a linha de carga (a direção do estado de tensão no plano - ) e calcular o fator de segurança: - analiticamente (com fórmulas);
- graficamente (explicando como obter pelo traçado do locus).
Passo 2
Escolha do método (justificando de forma simples e prática)
- Para a verificação de escoamento em aços dúcteis o critério mais usado é o critério de von Mises (energia de distorção). Vou adotá-lo para traçar o locus de escoamento e para calcular o fator de segurança contra escoamento.
- Para ruptura final (última falha) um procedimento prático comum é usar a resistência última
para construir um locus análogo (uma superfície de comparação) e obter um fator de segurança contra ruptura comparando a mesma tensão equivalente ao valor último. A deformação verdadeira na fratura será usada depois para comentar sobre ductilidade e sobre como se relaciona a tensão equivalente à deformação de fratura (informação útil para entendimento físico), mas o cálculo direto do fator de segurança costuma comparar tensões equivalentes com e .
Obs.: essa escolha é a que melhores resultados práticos dá em projetos rápidos e em provas. Outros critérios (Tresca, critérios de fratura por deformação) existem, mas von Mises é o mais usado e suficiente aqui.
Passo 3
Fórmula do critério de von Mises em estado plano (explicação didática)
- Em estado plano (tensões
e ) a tensão equivalente de von Mises é dada por:
- Interpretação:
é uma medida “equivalente” de intensidade de tensões que transforma um estado biaxial em um valor único comparável com a tensão de escoamento do material. Se então o material está no limite de escoamento. - O locus de escoamento no plano
é dado pela equação:
que representa uma curva fechada (uma “elipse” rotacionada) centrada na origem. Para ruptura, em projeto simplificado, pode-se traçar uma curva análoga usando
:
Passo 4
Como traçar o lugar de falha e a linha de carga (guia passo a passo de construção gráfica)
- Traçar um sistema de eixos com
no eixo horizontal e no eixo vertical (unidades MPa). - Desenhar a curva dada por
. Para obter pontos práticos: - para tensão uniaxial em
: escolha e calcule ; - para tensão uniaxial em
: escolha e calcule ; - para tração/compressão simétrica pode-se calcular outros pontos; em provas normalmente basta conhecer a forma e os pontos principais.
- para tensão uniaxial em
- Repetir a mesma curva com raio proporcional a
para representar a “superfície de comparação” de ruptura. - A linha de carga é simplesmente a reta que liga a origem ao ponto que representa o estado de tensão
. Em termos gráficos: plota-se o ponto e traça-se a reta . - O fator de segurança gráfico é o fator de escala
tal que, ao multiplicar as tensões do estado por (ou seja, deslocar o ponto ao longo da reta afastando-o da origem), o ponto escalado atinge a curva de escoamento. Graficamente mede-se a razão entre distância da origem ao ponto de contato na curva e a distância da origem ao ponto . Analiticamente é idêntico a multiplicar as tensões por um escalar e exigir que ; daí .
Passo 5
Calcular a tensão equivalente
para o estado dado (contas passo a passo)
- Usar a fórmula de von Mises:
- Substituindo
e :
- Calcule cada termo:
- Soma:
- Portanto
Passo 6
Fator de segurança analítico contra escoamento (von Mises)
- A condição para escoamento é
. Para um estado atual o fator de segurança (quanto é preciso multiplicar as tensões reais para alcançar o escoamento) é:
- Substituindo valores:
- Interpretação física: as tensões atuais podem ser aumentadas em cerca de
vezes até atingir o escoamento segundo von Mises.
Passo 7
Fator de segurança gráfico contra escoamento (explicação e relação com o resultado analítico)
- Graficamente procede-se escalando o ponto
ao longo da reta até tocar a curva . O fator de escala obtido é exatamente o mesmo número do Passo 6:
- Conclusão: análise gráfica e analítica coincidem (na prática, no traçado com régua e compasso, haverá pequenas imprecisões).
Passo 8
Fator de segurança contra ruptura (comparando com
) e uso da deformação verdadeira na fratura
- Um critério prático para verificar a segurança contra ruptura é comparar a mesma tensão equivalente com
. Assim:
- Interpretação: em termos de resistência última, o estado atual está longe da ruptura (poderia ser multiplicado por cerca de
para alcançar ). Porém atenção: comparar com é um procedimento conservador/simples — a ruptura real envolve concentração de tensões, estricção e grande plastificação, por isso o é informação importante sobre ductilidade. - Relação com
: na tração uniaxial a deformação verdadeira na fratura mede a ductilidade. Podemos transformar em uma “deformação plástica equivalente de von Mises” para referência. Para um ensaio uniaxial proporcional vale a relação (mostro como se obtém, sem pular passos): - Para um alongamento uniaxial plástico
e (incompressibilidade plástica). - A deformação plástica equivalente de von Mises é
- Substituindo para uniaxial dá
. - Assim, a deformação equivalente na fratura (assumindo
quando a contribuição elástica é pequena) é
- Isso significa que, em termos de deformação plástica equivalente, a peça atingiu cerca de
(unidades adimensionais) de deformação plástica ao fraturar no ensaio uniaxial — um número que confirma que o material é bastante dúctil.
- Para um alongamento uniaxial plástico
- Observação final: para traçar um locus de ruptura mais realista baseado em
seria necessário conhecer a lei de encruamento (hardening) do material para relacionar tensões e deformações plásticas ao longo do caminho. Como isso não foi dado, o procedimento prático adotado (comparar com ) é aceitável e comumente usado em exercícios de prova.
Resposta
Fator de segurança contra escoamento (critério de von Mises):
Fator de segurança contra ruptura (comparando com ):
Fator de segurança contra ruptura (comparando com