Para o Decodificador 3 \rightarrow 8, projete a tabela verdade e as equações booleanas de saída

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o decodificador 3\rightarrow8:
  • Projetar a tabela verdade (todas as combinações possíveis das 3 entradas e quais saídas ficam ativas).
  • Encontrar as equações booleanas das saídas.
Informações e convenções que vou usar (decididas para deixar tudo claro):
  • Há três entradas binárias: A, B e C.
  • Vou tomar A como o bit mais significativo (MSB) e C como o menos significativo (LSB). Ou seja, o valor binário (A,B,C) corresponde ao número decimal d = 4A + 2B + C.
  • As saídas serão Y_{0},Y_{1},\dots,Y_{7}. A saída Y_{k} deve ficar ativa (igual a 1) exatamente quando as entradas representam o número decimal k.
  • Assumo saída ativa em nível lógico alto (active–high). Se for necessário active–low, a abordagem é análoga com inversões nas saídas.

Passo 2

O que é um decodificador (explicação didática, bem devagar)
  • Um decodificador toma n bits e “decodifica” para 2^{n} linhas de saída, onde exatamente uma saída corresponde ao valor binário presente nas entradas.
  • Para cada saída Y_{k} existe um mintermo: um produto (AND) de entradas ou seus complementos que é igual a 1 apenas para a combinação que representa k.
  • Regra prática para escrever o mintermo de Y_{k}: escreva k em binário com n bits; para cada bit igual a 1 use a variável direta, para cada bit igual a 0 use a variável negada. Então faça o AND desses três literais.
Exemplo rápido para fixar a ideia:
  • Se k=5, em binário com 3 bits 5 = 101. O mintermo é A\,\overline{B}\,C. Esse produto vale 1 só quando A=1, B=0, C=1.

Passo 3

Construindo a tabela verdade mentalmente (vamos listar as 8 combinações)
  • As combinações de (A,B,C) vão de (0,0,0) até (1,1,1). Cada combinação ativa exatamente uma saída Y_k com k igual ao valor decimal da combinação:
    • (A,B,C)=(0,0,0) → ativa Y_{0}.
    • (A,B,C)=(0,0,1) → ativa Y_{1}.
    • (A,B,C)=(0,1,0) → ativa Y_{2}.
    • (A,B,C)=(0,1,1) → ativa Y_{3}.
    • (A,B,C)=(1,0,0) → ativa Y_{4}.
    • (A,B,C)=(1,0,1) → ativa Y_{5}.
    • (A,B,C)=(1,1,0) → ativa Y_{6}.
    • (A,B,C)=(1,1,1) → ativa Y_{7}.

Passo 4

Escrevendo as equações por mintermos (regra aplicada a cada saída)
  • Aplicando a regra do Passo 2 para cada k:
Vou mostrar como se obtém algumas saídas e depois listar todas:
  • Para Y_{0}: 0 em binário é 000. Então Y_{0} = \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}.
  • Para Y_{1}: 1 em binário é 001. Então Y_{1} = \overline{A}\,\overline{B}\,C.
  • Para Y_{2}: 2 em binário é 010. Então Y_{2} = \overline{A}\,B\,\overline{C}.
  • Para Y_{3}: 3 em binário é 011. Então Y_{3} = \overline{A}\,B\,C.
  • Para Y_{4}: 4 em binário é 100. Então Y_{4} = A\,\overline{B}\,\overline{C}.
  • Para Y_{5}: 5 em binário é 101. Então Y_{5} = A\,\overline{B}\,C.
  • Para Y_{6}: 6 em binário é 110. Então Y_{6} = A\,B\,\overline{C}.
  • Para Y_{7}: 7 em binário é 111. Então Y_{7} = A\,B\,C.
Observação didática: cada equação é um AND de três literais; para implementá-las em hardware precisa-se de inversores para obter \overline{A},\overline{B},\overline{C} e de portas AND de 3 entradas (ou AND de 2 com cascata).

Passo 5

Tabela verdade completa (forma compacta para consulta)
  • A tabela verdade tem 8 linhas; em cada linha somente uma Y_{k} vale 1 (aquela correspondente ao decimal de (A,B,C)) e as demais valem 0. A associação é a listada no Passo 3.

Passo 6

Notas práticas para implementação e variantes
  • Implementação direta: três inversores (para \overline{A},\overline{B},\overline{C}) e oito portas AND de 3 entradas (uma por saída).
  • Variante active–low: muitas vezes decodificadores comerciais têm saídas ativas em nível baixo; nesse caso as equações tornam-se \overline{Y_k} = os mesmos mintermos e a saída física é o inverso. Se precisar de active–low, basta inverter cada Y_k.
  • Simplificação: as expressões já são mintermos e são minimalmente representadas como produtos de literais (não há simplificação possível que reduza o número de literais por saída sem mudar a função).

Resposta

Tabela verdade (assumindo A MSB, C LSB):
(A,B,C)=(0,0,0)\Rightarrow Y_{0}=1 e Y_{1}..Y_{7}=0
(A,B,C)=(0,0,1)\Rightarrow Y_{1}=1 e Y_{0},Y_{2}..Y_{7}=0
(A,B,C)=(0,1,0)\Rightarrow Y_{2}=1 e Y_{0},Y_{1},Y_{3}..Y_{7}=0
(A,B,C)=(0,1,1)\Rightarrow Y_{3}=1 e Y_{0},Y_{1},Y_{2},Y_{4}..Y_{7}=0
(A,B,C)=(1,0,0)\Rightarrow Y_{4}=1 e Y_{0}..Y_{3},Y_{5}..Y_{7}=0
(A,B,C)=(1,0,1)\Rightarrow Y_{5}=1 e Y_{0}..Y_{4},Y_{6},Y_{7}=0
(A,B,C)=(1,1,0)\Rightarrow Y_{6}=1 e Y_{0}..Y_{5},Y_{7}=0
(A,B,C)=(1,1,1)\Rightarrow Y_{7}=1 e Y_{0}..Y_{6}=0
Equações booleanas das saídas:
Y_{0}=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}
Y_{1}=\overline{A}\,\overline{B}\,C
Y_{2}=\overline{A}\,B\,\overline{C}
Y_{3}=\overline{A}\,B\,C
Y_{4}=A\,\overline{B}\,\overline{C}
Y_{5}=A\,\overline{B}\,C
Y_{6}=A\,B\,\overline{C}
Y_{7}=A\,B\,C

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