Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.)
\left[\begin{array}{ll}O & B \\\ C & I\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-(B C)^{-1} & (B C)^{-1} B \\\ C(B C)^{-1} & I-C(B C)^{-1} B\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por multiplicação por blocos, que a matriz
A = \begin{pmatrix}0 & B \\\ C & I\end{pmatrix}
tem inversa
A^{-1} = \begin{pmatrix} -(BC)^{-1} & (BC)^{-1}B \\\ C\,(BC)^{-1} & I - C\,(BC)^{-1}B \end{pmatrix}.
O conteúdo é multiplicação de matrizes em blocos e propriedades de inversas.

Passo 2

Definimos
X = \begin{pmatrix} -(BC)^{-1} & (BC)^{-1}B \\\ C\,(BC)^{-1} & I - C\,(BC)^{-1}B \end{pmatrix}
e vamos mostrar que A\,X = I. Como A e X são ambas 2\times2 em blocos, basta calcular cada bloco de A\,X.

Passo 3

Bloco superior esquerdo de A\,X:
0\cdot\bigl(-(BC)^{-1}\bigr)\;+\;B\cdot\bigl(C\,(BC)^{-1}\bigr) \;=\;B\,C\,(BC)^{-1} \;=\;I.
Bloco superior direito de A\,X:
0\cdot\bigl((BC)^{-1}B\bigr)\;+\;B\cdot\bigl(I - C\,(BC)^{-1}B\bigr) \;=\;B \;-\;B\,C\,(BC)^{-1}B \;=\;B - B \;=\;0.

Passo 4

Bloco inferior esquerdo de A\,X:
C\cdot\bigl(-(BC)^{-1}\bigr)\;+\;I\cdot\bigl(C\,(BC)^{-1}\bigr) \;=\;-\,C\,(BC)^{-1} \;+\;C\,(BC)^{-1} \;=\;0.

Passo 5

Bloco inferior direito de A\,X:
C\cdot\bigl((BC)^{-1}B\bigr)\;+\;I\cdot\bigl(I - C\,(BC)^{-1}B\bigr) \;=\;C\,(BC)^{-1}B \;+\;I \;-\;C\,(BC)^{-1}B \;=\;I.
Portanto todos os blocos de A\,X coincidem com os de I, logo A\,X=I e X=A^{-1}.

Resposta

\begin{pmatrix}0 & B \\\ C & I\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} -(BC)^{-1} & (BC)^{-1}B \\\ C\,(BC)^{-1} & I - C\,(BC)^{-1}B \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados