Decompor matrizes quadradas grandes pode às vezes tornar suas inversas mais fáceis de se calcular, particularmente se os blocos tiverem uma forma adequada. Nos Exercícios de 64 a 68, verifique, por multiplicação por blocos, que a inversa de uma matriz, decomposta como apresentado, resulta na matriz dada. (Assuma que todas as inversas existem, quando necessário.)
\left[\begin{array}{ll}A & B \\\ O & D\end{array}\right]^{-1}=\left[\begin{array}{cc}A^{-1} & -A^{-1} B D^{-1} \\\ O & D^{-1}\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar, por multiplicação por blocos, que a inversa da matriz
M = \begin{pmatrix}A & B \\\ O & D\end{pmatrix}
é
M^{-1} = \begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1} B D^{-1} \\[-6pt] O & D^{-1}\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é inversão de matrizes em blocos e vamos mostrar que
M \,M^{-1} = I.
]

Passo 2

Escrevemos o produto por blocos:
M\,M^{-1} = \begin{pmatrix}A & B \\[-3pt]O & D\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1} B D^{-1} \\[-3pt]O & D^{-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A\,A^{-1} + B\,O & A\bigl(-A^{-1}BD^{-1}\bigr) + B\,D^{-1} \\[-6pt] O\,A^{-1} + D\,O & O\bigl(-A^{-1}BD^{-1}\bigr) + D\,D^{-1} \end{pmatrix}.
]

Passo 3

Calculemos o bloco ( 1,1):
A\,A^{-1} + B\,O = I + O = I.

Passo 4

Calculemos o bloco ( 1,2):
A\bigl(-A^{-1}BD^{-1}\bigr) + B\,D^{-1} = -\bigl(A\,A^{-1}\bigr)B\,D^{-1} + B\,D^{-1} = -I\,B\,D^{-1} + B\,D^{-1} = O.

Passo 5

Calculemos o bloco ( 2,1):
O\,A^{-1} + D\,O = O + O = O.

Passo 6

Calculemos o bloco ( 2,2):
O\bigl(-A^{-1}BD^{-1}\bigr) + D\,D^{-1} = O + I = I.

Passo 7

Como todos os blocos resultam nos blocos da identidade, temos
M\,M^{-1} = I.
Análogamente verifica-se M^{-1}M=I. Logo a expressão dada é de fato a inversa de M.

Resposta

\begin{pmatrix}A & B \\[-3pt]O & D\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix}A^{-1} & -A^{-1} B D^{-1} \\[-6pt]O & D^{-1}\end{pmatrix}.
]

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