A decomposição de um composto no estado gasoso é um processo irreversível com cinética de 2^{\underline{a}} ordem, cuja velocidade especifica é igual a 9^{*} 10^{-2} \mathrm{~L} / \mathrm{mol}^{*} \mathrm{~s} a 300 K e a 23^{*} 10^{-2} \mathrm{~L} / \mathrm{mol}^{*} \mathrm{~s} a 350 K respectivamente. A partir desta informação, determine:
a- A equação de velocidade de reação
b- O tempo de meia vida a 300 K e 350 K , sabendo que a concentração da quantidade de matéria inicial é igual a 0,05 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}
c- O tempo necessário para que 99 \% do composto A sofra decomposição a 350 K .

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as seguintes respostas.
Informações dadas:
  • A reação é de decomposição irreversível de um composto no estado gasoso, de 2ª ordem.
  • A velocidade específica (constante de velocidade) é igual a 9\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} a 300\\ \mathrm{K}.
  • A velocidade específica (constante de velocidade) é igual a 23\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} a 350\\ \mathrm{K}.
  • A concentração inicial é [A]_0=0,05\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
O que é pedido:
a) A equação de velocidade da reação (lei de velocidade e forma diferencial).
b) O tempo de meia-vida ( t_{1/2}) a 300\\ \mathrm{K} e a 350\\ \mathrm{K}, usando [A]_0=0,05\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
c) O tempo necessário para que 99\% do composto A se decomponha a 350\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Escrevendo a lei de velocidade para reação de segunda ordem (com um único reagente A) e explicando o significado dos símbolos.
Para uma reação de segunda ordem em relação a A a lei de velocidade tem a forma
\text{velocidade} = k\,[A]^2.
Aqui:
  • k é a constante de velocidade (unidades típicas \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} para 2ª ordem),
  • [A] é a concentração instantânea do reagente A em \mathrm{mol\;L^{-1}},
  • a velocidade (taxa) é -\dfrac{d[A]}{dt} (a variação negativa da concentração por unidade de tempo).
Portanto, a forma diferencial que descreve a queda de concentração é
-\dfrac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2.

Passo 3

Integração da equação diferencial para obter a lei integrada (fórmula útil para calcular tempos).
Começamos com a equação diferencial escrita no passo anterior e separamos as variáveis:
-\dfrac{d[A]}{[A]^2} = k\,dt.
Integramos dos instantes t=0 (onde [A]=[A]_0) até tempo t (onde [A]=[A]_t):
\int_{[A]_0}^{[A]_t} -\dfrac{d[A]}{[A]^2} = \int_{0}^{t} k\,dt.
Calcule a integral no lado esquerdo: \displaystyle \int -[A]^{-2} d[A] = \left[ \dfrac{1}{[A]} \right]. Assim:
\left.\dfrac{1}{[A]}\right|_{[A]_0}^{[A]_t} = k t.
Isto resulta em
\dfrac{1}{[A]_t} - \dfrac{1}{[A]_0} = k t.
Rearranjando,
\dfrac{1}{[A]_t} = \dfrac{1}{[A]_0} + k t.
Esta é a forma integrada da lei de 2ª ordem para um único reagente.

Passo 4

Derivação da expressão para o tempo de meia-vida t_{1/2} (tempo em que [A]_t=[A]_0/2).
Substituindo [A]_t=[A]_0/2 na lei integrada:
\dfrac{1}{[A]_0/2} = \dfrac{1}{[A]_0} + k t_{1/2}.
O lado esquerdo é \dfrac{2}{[A]_0}; subtraindo \dfrac{1}{[A]_0} de ambos os lados:
\dfrac{2}{[A]_0} - \dfrac{1}{[A]_0} = k t_{1/2}.
Logo
\dfrac{1}{[A]_0} = k t_{1/2},
e finalmente
t_{1/2} = \dfrac{1}{k\,[A]_0}.
Observação didática: ao contrário da meia-vida de primeira ordem (que é independente de [A]_0), para segunda ordem t_{1/2} depende de [A]_0 e diminui se k aumenta ou se [A]_0 aumenta.

Passo 5

Cálculo numérico dos tempos de meia-vida a 300\\ \mathrm{K} e 350\\ \mathrm{K} usando [A]_0=0,05\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Constantes fornecidas (peguei os valores do enunciado):
k_{300} = 9\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} = 0,09\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}},
k_{350} = 23\times10^{-2}\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} = 0,23\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}}.
Usando \displaystyle t_{1/2}=\dfrac{1}{k\,[A]_0}:
Para 300\\ \mathrm{K}:
t_{1/2,300} = \dfrac{1}{0,09 \times 0,05} = \dfrac{1}{0,0045} = 222,22\\ \mathrm{s} \approx 3,70\\ \text{min}.
Para 350\\ \mathrm{K}:
t_{1/2,350} = \dfrac{1}{0,23 \times 0,05} = \dfrac{1}{0,0115} = 86,96\\ \mathrm{s} \approx 1,45\\ \text{min}.

Passo 6

Tempo necessário para que 99\% do composto A sofra decomposição a 350\\ \mathrm{K}.
Se 99\% foi decomposto, a fração remanescente é 1\% = 0,01. Então [A]_t = 0,01\,[A]_0.
Usando a lei integrada \dfrac{1}{[A]_t} = \dfrac{1}{[A]_0} + k t, isolamos t:
t = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{[A]_t} - \dfrac{1}{[A]_0}\right).
Substituindo [A]_t=0,01\,[A]_0:
t = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{1}{0,01\,[A]_0} - \dfrac{1}{[A]_0}\right) = \dfrac{1}{k}\left(\dfrac{100}{[A]_0} - \dfrac{1}{[A]_0}\right) = \dfrac{99}{k\,[A]_0}.
Agora substituindo k_{350}=0,23\\ \mathrm{L\;mol^{-1}\;s^{-1}} e [A]_0=0,05\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}:
t_{99\%,350} = \dfrac{99}{0,23\times0,05} = \dfrac{99}{0,0115} = 8608,70\\ \mathrm{s}.
Convertendo:
8608,70\\ \mathrm{s} \approx 143,48\\ \text{min} \approx 2,39\\ \text{h}.

Resposta

a) -\dfrac{d[A]}{dt} = k\,[A]^2 (com a forma integrada \dfrac{1}{[A]_t}=\dfrac{1}{[A]_0}+k t).
b) t_{1/2}\,(300\\ \mathrm{K})=222,22\\ \mathrm{s}\approx3,70\\ \text{min}
t_{1/2}\,(350\\ \mathrm{K})=86,96\\ \mathrm{s}\approx1,45\\ \text{min}
c) t_{99\%}\,(350\\ \mathrm{K})=8608,70\\ \mathrm{s}\approx143,48\\ \text{min}\approx2,39\\ \text{h}

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