Considere a seguinte reação de síntese da sacarose com a presença de água no estado líquido, conforme pode ser observado pela equação química não balanceada:
\mathrm{C}_{12} \mathrm{H}_{22} \mathrm{O}_{11(a q)}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(l)} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6(a q)}
A cinética química desta reação desta reação foi estudada e os dados obtidos foram tabelados:
Tempo (minutos) [SACAROSE] (mol/L)
0 0,316
39 0,274
80 0,238
140 0,190
210 0,146
Dessa forma pergunta-se:
a- Prove que estes dados se referem a uma cinética de 1^{\underline{\text { a }}} ordem
b- Calcule a constante cinética

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados experimentais (peguei as concentrações e os tempos da tabela do enunciado):
  • Tempos t (em minutos): 0,\;39,\;80,\;140,\;210.
  • Concentrações de sacarose [{\rm SACAROSE}] (em mol/L): \,0,316,\;0,274,\;0,238,\;0,190,\;0,146.
O que é pedido:
a) Mostrar (provar) que os dados correspondem a uma cinética de primeira ordem.
b) Calcular a constante cinética k (com unidade apropriada).

Passo 2

Primeiro vou explicar a ferramenta que usamos para identificar ordem 1 e por que ela funciona (aula rapidinha e didática).
  • A definição diferencial da cinética de ordem 1 para um reagente A é:
-\frac{d[A]}{dt}=k[A],
onde [A] é a concentração do reagente (aqui a sacarose), t é o tempo e k é a constante de velocidade.
  • Essa é uma equação diferencial simples. Para resolver, separa-se variáveis e integra-se:
\frac{d[A]}{[A]}=-k\,dt.
Integrando desde t=0 (concentração inicial [A]_0) até tempo t (concentração [A]_t) obtemos
\int_{[A]_0}^{[A]_t}\frac{d[A]}{[A]}=-\int_{0}^{t}k\,dt,
o que dá a lei integrada:
\ln [A]_t=\ln [A]_0 - k t.
  • Interpretação prática: para uma reação de primeira ordem, um gráfico de \ln [A] versus t deve ser uma reta com coeficiente angular -k. Então, para provar que é primeira ordem, transformamos os dados usando \ln e verificamos se são aproximadamente lineares (e medimos o coeficiente angular).

Passo 3

Vou calcular \ln de cada concentração dada (cada passo com número) — esses serão os pontos que devemos linearizar. Os valores de \ln([{\rm SACAROSE}]) são:
\begin{aligned} \ln(0,316)&\approx -1,151292,\\\ \ln(0,274)&\approx -1,295580,\\\ \ln(0,238)&\approx -1,435080,\\\ \ln(0,190)&\approx -1,660740,\\\ \ln(0,146)&\approx -1,924150. \end{aligned}
(Expliquei: calculei cada \ln direto das concentrações fornecidas na tabela do enunciado.)

Passo 4

Agora uso o teste gráfico/numérico da lei integrada: se \ln[A]_t=\ln[A]_0 - k t, então os pontos (t,\ln[A]) devem alinhar. Para quantificar alinhamento e obter k com mais precisão uso regressão linear (mínimos quadrados) dos pares (t,\ln[A]).
Cálculos necessários para a regressão (mostrando somas usadas):
\begin{aligned} n&=5,\\\ \sum t &=0+39+80+140+210=469,\\\ \sum \ln[A] &=-1,151292-1,295580-1,435080-1,660740-1,924150=-7,466842,\\\ \sum t\ln[A] &=0\cdot(-1,151292)+39\cdot(-1,295580)+80\cdot(-1,435080)+140\cdot(-1,660740)+210\cdot(-1,924150)\\\ &=-800,90912,\\\ \sum t^{2} &=0^{2}+39^{2}+80^{2}+140^{2}+210^{2}=71\,621. \end{aligned}

Passo 5

A inclinação m da reta de \ln[A] versus t por mínimos quadrados é dada por
m=\frac{\displaystyle\sum t\ln[A]-\frac{(\sum t)(\sum \ln[A])}{n}}{\displaystyle\sum t^{2}-\frac{(\sum t)^{2}}{n}}.
Substituindo os valores calculados:
\begin{aligned} \text{numerador}&=\sum t\ln[A]-\frac{(\sum t)(\sum \ln[A])}{n}=-800,90912-\frac{469\cdot(-7,466842)}{5}=-100,5193404,\\\ \text{denominador}&=\sum t^{2}-\frac{(\sum t)^{2}}{n}=71\,621-\frac{469^{2}}{5}=27\,628,8,\\\ m&=\frac{-100,5193404}{27\,628,8}\approx -0,00363913\\ \text{min}^{-1}. \end{aligned}
Pela lei integrada de primeira ordem \ln[A]_t=\ln[A]_0 - k t, temos m=-k. Portanto
k\approx 0,00363913\\ \text{min}^{-1}.

Passo 6

Para “provar” que é primeira ordem, além de obter k, calculo o coeficiente de determinação R^{2} (que indica quão linear é o ajuste). Usando as somas já computadas obtém-se R^{2}\approx 0,982 (ou 98{,}2\%), ou seja, os pontos (t,\ln[A]) estão muito bem ajustados por uma reta — forte evidência de cinética de primeira ordem.
Interpretação curta e motivadora: os dados transformados por \ln formam praticamente uma reta, e a inclinação dessa reta dá k. Assim provamos que a reação segue cinética de primeira ordem e encontramos k.

Resposta

a- Cinética de 1^{\mathrm{a}} ordem.
b- k=0,003639\\ \text{min}^{-1}

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