Considere a seguinte reação de síntese da sacarose com a presença de água no estado líquido, conforme pode ser observado pela equação química não balanceada:
A cinética química desta reação desta reação foi estudada e os dados obtidos foram tabelados:
Tempo (minutos)
[SACAROSE] (mol/L)
0
0,316
39
0,274
80
0,238
140
0,190
210
0,146
Dessa forma pergunta-se:
a- Prove que estes dados se referem a uma cinética de 1^{\underline{\text { a }}} ordem
b- Calcule a constante cinética
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados experimentais (peguei as concentrações e os tempos da tabela do enunciado):
Tempos t (em minutos): 0,\;39,\;80,\;140,\;210.
Concentrações de sacarose [{\rm SACAROSE}] (em mol/L): \,0,316,\;0,274,\;0,238,\;0,190,\;0,146.
O que é pedido:
a) Mostrar (provar) que os dados correspondem a uma cinética de primeira ordem.
b) Calcular a constante cinética k (com unidade apropriada).
Passo 2
Primeiro vou explicar a ferramenta que usamos para identificar ordem 1 e por que ela funciona (aula rapidinha e didática).
A definição diferencial da cinética de ordem 1 para um reagente A é:
-\frac{d[A]}{dt}=k[A],
onde [A] é a concentração do reagente (aqui a sacarose), t é o tempo e k é a constante de velocidade.
Essa é uma equação diferencial simples. Para resolver, separa-se variáveis e integra-se:
\frac{d[A]}{[A]}=-k\,dt.
Integrando desde t=0 (concentração inicial [A]_0) até tempo t (concentração [A]_t) obtemos
Interpretação prática: para uma reação de primeira ordem, um gráfico de \ln [A] versus t deve ser uma reta com coeficiente angular -k. Então, para provar que é primeira ordem, transformamos os dados usando \ln e verificamos se são aproximadamente lineares (e medimos o coeficiente angular).
Passo 3
Vou calcular \ln de cada concentração dada (cada passo com número) — esses serão os pontos que devemos linearizar. Os valores de \ln([{\rm SACAROSE}]) são:
(Expliquei: calculei cada \ln direto das concentrações fornecidas na tabela do enunciado.)
Passo 4
Agora uso o teste gráfico/numérico da lei integrada: se \ln[A]_t=\ln[A]_0 - k t, então os pontos (t,\ln[A]) devem alinhar. Para quantificar alinhamento e obter k com mais precisão uso regressão linear (mínimos quadrados) dos pares (t,\ln[A]).
Cálculos necessários para a regressão (mostrando somas usadas):
Pela lei integrada de primeira ordem \ln[A]_t=\ln[A]_0 - k t, temos m=-k. Portanto
k\approx 0,00363913\\ \text{min}^{-1}.
Passo 6
Para “provar” que é primeira ordem, além de obter k, calculo o coeficiente de determinação R^{2} (que indica quão linear é o ajuste). Usando as somas já computadas obtém-se R^{2}\approx 0,982 (ou 98{,}2\%), ou seja, os pontos (t,\ln[A]) estão muito bem ajustados por uma reta — forte evidência de cinética de primeira ordem.
Interpretação curta e motivadora: os dados transformados por \ln formam praticamente uma reta, e a inclinação dessa reta dá k. Assim provamos que a reação segue cinética de primeira ordem e encontramos k.
Resposta
a- Cinética de 1^{\mathrm{a}} ordem.
b- k=0,003639\\ \text{min}^{-1}