A decomposição irreversível do éter dimetílico gasoso, nas pressões ordinárias, é uma reação de primeira ordem.
Foram realizados dois experimentos em um reator batelada a volume constante, medindo-se o tempo de meia-vida. O tempo de meia-vida às temperaturas de
e
, foram 25 e 12,5 minutos, respectivamente. Pede-se determinar: (a) os parâmetros de Arrhenius para esta reação (fator préexponencial e energia de ativação); e (b) o tempo de meia-vida na temperatura de
. Dado:
.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
-
Dados (pegos do enunciado):
- Temperatura
. - Temperatura
. - Tempo de meia-vida em
: . - Tempo de meia-vida em
: . - Constante dos gases:
.
- Temperatura
-
O que se pede:
(a) Determinar os parâmetros de Arrhenius: fator pré-exponenciale energia de ativação .
(b) Determinar o tempo de meia-vida na temperatura( ).
Passo 2
Entendendo a cinética e como extrair constantes do enunciado (aula rápida e prática).
- Para uma reação de primeira ordem vale a relação entre constante de velocidade
e tempo de meia-vida:
Aqui
é a constante natural
. Essa fórmula significa que, para primeira ordem, o tempo de meia-vida não depende da concentração inicial: depende só de
.
- Assim podemos obter as constantes
e nas duas temperaturas diretamente:
Calculemos (mantendo unidades em
, que é conveniente pois os tempos estão em minutos):
Note que
porque o tempo de meia-vida foi reduzido à metade.
Passo 3
Lei de Arrhenius e fórmula para
.
- A lei de Arrhenius diz:
onde
é o fator pré-exponencial (mesmas unidades de
) e
é a energia de ativação (em
). Tomando logaritmo natural de duas temperaturas diferentes e subtraindo, obtemos a relação que elimina
:
Dessa equação isolamos
:
- Substituindo
e as temperaturas em kelvin:
Calculemos a diferença
. Uma forma estável numericamente:
O produto
é aproximadamente
, então
- Agora:
Calculemos numericamente:
Convertendo para
:
Passo 4
Determinar o fator pré-exponencial
.
- Use a lei de Arrhenius numa das temperaturas (por exemplo
) para encontrar :
- Calcule o expoente:
Logo
Portanto
- (Se preferir em
: dividir por dá .)
Passo 5
Tempo de meia-vida em
(
).
Duas opções: calcular
a partir de
ou usar relação entre taxas via Arrhenius. A segunda é mais curta e numericamente estável:
Compute a diferença:
Então
Logo
- Finalmente o tempo de meia-vida a
:
Passo 6
Resumo numérico e interpretação curta (força moral amiga): a energia de ativação ficou alta, da ordem de
, o que é comum em decomposições gasosas; e a meia-vida em
é intermediária entre as dadas (como esperado). Vai dar tudo certo na prova — respira e repete os passos que fizemos.
Resposta
(a)
(b)
(b)